Найти интервалы монотонности и экстремум функции

x≠1/3
y’(x)=2x*(3x-1)-3x^2 / (3x-1)^2 = (3x^2-2x)/(3x-1)^2 (=0)
3x^2-2x=0
x=0
x=2/3
Знаки производной
__+__0__-__1/3___-___2/3___+___

x=0 точка максимума y(0) = 0
x=2/3 точка минимума y(2/3)=(2/3)^2/(3*2/3-1) = 4/9
Возрастает на (-∞;0] и [2/3;+∞)
Убывает на [0;1/3) и (1/3;2/3]

Сначала находим производную от функции этой. Она равна (2x^2 - 2x)/(3x-1)^2
Далее ее приравниваем к нулю и ищем корни. Это x = 0 и x = 1 для числителя.
У нас есть две точки, в которых производная равна нулю: при x = 0 и при x = 1, там подставь под y сама.
Также обрати внимание на знаменатель, что функция не определена при x = 1/3, так как знаменатель равен нулю.
Теперь мы можем проверить знак производной на интервалах (-∞, 0), (0, 1/3), (1/3, 1) и (1, +∞), чтобы определить, возрастает или убывает функция на этих интервалах.

На интервале (-∞, 0) производная отрицательна, поэтому функция убывает. На интервале (0, 1/3) производная положительна, поэтому функция возрастает. На интервале (1/3, 1) производная отрицательна, поэтому функция убывает. На интервале (1, +∞) производная положительна, поэтому функция возрастает.

Таким образом, у функции есть локальный минимум в точке x = 0 и локальный максимум в точке x = 1. Функция возрастает на интервалах (-∞, 0) и (1, +∞) и убывает на интервалах (0, 1/3) и (1/3, 1).

Для нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции необходимо найти ее производную и решить неравенство f'(x) > 0 или f'(x) < 0.

Для функции у=х^4-2x^2+3 производная равна у'=4x^3-4x. Найдем корни производной, приравняв ее к нулю: 4x(x^2-1)=0. Получаем три корня: x1=-1, x2=0 и x3=1.

На отрезках (-∞,-1) и (0,1) производная положительна (y' > 0), на отрезках (-1,0) и (1,+∞) производная отрицательна (y' < 0). Следовательно, в точках х=-1 и х=1 - минимумы, а в точке х=0 - максимум.