Найти интервал сходимости ряда.

Для определения интервала сходимости ряда

\[
\sum_{{n=1}}^{\infty} \frac{{n! \cdot x^n}}{{n^n}}
\]

мы можем воспользоваться критерием Даламбера. Согласно этому критерию, ряд с общим членом \(a_n\) сходится абсолютно, если

\[
\lim_{{n \to \infty}} \left| \frac{{a_{n+1}}}{{a_n}} \right| < 1
\]

и расходится, если этот предел больше или равен 1.

Выразим \(a_{n+1}/a_n\):

\[
\frac{{a_{n+1}}}{{a_n}} = \frac{{(n+1)! \cdot x^{n+1}}}{{(n+1)^{n+1}}} \times \frac{{n^n}}{{n! \cdot x^n}}
\]

Упрощаем:

\[
= \frac{{(n+1) \cdot x}}{{(n+1)}} \times \left(\frac{n}{n+1}\right)^n
\]

\[
= x \times \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n
\]

Известно, что \(\lim_{{n \to \infty}} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n = \frac{1}{e}\), поэтому:

\[
\lim_{{n \to \infty}} \frac{{a_{n+1}}}{{a_n}} = x \times \frac{1}{e}
\]

Чтобы ряд сходился, это выражение должно быть меньше 1:

\[
x \times \frac{1}{e} < 1
\]
\[
x < e
\]

Теперь нам нужно проверить сходимость ряда на границах интервала, т.е. при \(x = e\) и \(x = -e\).

1. При \(x = e\):

\[
\sum_{{n=1}}^{\infty} \frac{{n! \cdot e^n}}{{n^n}}
\]

Этот ряд является расходящимся (можно показать, используя например, критерий Даламбера или сравнение с рядом \(n!\)).

2. При \(x = -e\):

\[
\sum_{{n=1}}^{\infty} \frac{{n! \cdot (-e)^n}}{{n^n}}
\]

Этот ряд также расходится.

Итак, интервал сходимости ряда:

\[
- e < x < e
\]

Если выразить это в виде интервала, то получаем:

[
(-e, e)
]

Таким образом, интервал сходимости ряда (\sum_{{n=1}}^{\infty} \frac{{n! \cdot x^n}}{{n^n}}) равен ((-e, e)). На границах этого интервала (то есть при (x = e) и (x = -e)) ряд расходится.