Как найти все функции ?

1) Пусть f(0) не равно 0. Тогда получим, что f периодична с периодом f(0). С другой стороны, f(x) не равно 0 для каждого х, не равногл 0, поэтому значения f в точках с шагом f(x) будут идти с шагом -x. Это противоречит периодичности.

Итак, f(0) = 0.

2) Пусть f(1) = a. Подставив n=0, имеем f(f(x)) = -x. В частности, f(f(-1)) = 1. Поэтому, идя с шагом 1, функция будет уменьшаться на f(-1), то есть можно записать f(x) = -xf(-1).

3) Надо понять, чему может быть равно f(-1). Имеем f(f(x)) = x f^2 (-1) = -x, откуда f^2 (-1) = -1. Это уравнение не дает значений f(-1). Значит, и нет таких функций f

С++ в помощь

f(n+f(m)) = f(n)-m

Пусть n=0. Тогда

f(f(m))= f(0)-m

* f инъекция
(Потому что если f(x)=f(y), то
f(0+f(x)) = f(0+f(y))

f(0)-x = f(0) - y
x =y )

** f(0)=0
(Потому что при m=0 имeем

f(n+f(0)) = f(n)
n+f(0)= n ⇒f(0)=0 )

n=0⇒ f(f(m)) = -m

Легко доказать, что также

*** f(k·f(m)) = -k·m, k ∈ ℤ

При k= f(n) получим

f(f(n)·f(m))= -f(n)·m = -f(m)· n

Значит,

f(x)/x = f(y)/y , ∀x, y ≠0

Оттуда получаем, что существует константа с такая, что

f(n)=c·n

И тогда

k·(n+cn) = cn -n

n(c²+1)=0
c=±i
и получаем противоречие с условием задачи.

Следовательно, такая функция не существует. :)

1) f(f(n))=f(0+f(n))=f(0)−n. From this we get that f is injective since if f(m)=f(n) then f(0)−m=f(0)−n and thus m=n.

2) f(n+f(0))=f(n)−0=f(n) and by injectivity we have n+f(0)=n and f(0)=0.

3) f(f(n))=f(0)−n=0−n=−n and then f(m−n)=f(m+ f(f(n))) =f(m)−f(n).

4) f(−n)=f(0−n)=f(0)−f(n)=0−f(n)=−f(n) and then f(m+n)=f(m−(−n))=f(m)−f(−n)=f(m)−(−f(n))=f(m)+f(n).

5) Now it is a standard result that any function f:Z→Z satisfying f(m+n)=f(m)+f(n) must be of the form f(n)=kn for some k∈Z. Then on one side f(f(1))=k2 and from above f(f(1))=−1. Thus k2=−1 which doesn't hold for any integer and so no such function f exists.

f(x)=-x.
Это единственная функция удовлетворяющая условию.