Математика. Функции. Графики функций

Пардон, не знаю уровень Вашего образования, но данная тема проходится в 10/11 классе среднестатистической школы (без углублённого изучения математики).
Эти бугорки можно предугадать при помощи нахождения точки перегиба, которая ищется при помощи второй производной по функции. Найдём её в Вашем примере.
f(x)' = 3x^2 - 4x +1 - первая производная
f(x)'' = 6x - 4 - вторая производная. Приравняем её к нулю:
6x - 4 = 0
6x = 4
x = 2/3
Подставив в исходную функцию (y = x^3-2x^2+x) x = 2/3 получим y = 2/27.
Таким образом, точка перегиба в этом графике (2/3; 2/27). Это такая точка, в которой график начинается изгибаться в сторону, противоположную той, в которую изгибался до этого.
Вы можете найти её на графике. Обратите внимание, что данная точка находится не на пике бугорка, а по середине между бугорком и ямой. Примерное положение этой точки я отметил на рисунке ниже.
Таким образом можно определить наличие этих бугорков. Высоту же такого бугорка можно определить при помощи нахождения точки экстремума, которая определяется при помощи первой производной, которую мы указывали ранее.
Приравняем её к нулю: 3x^2 - 4x +1 = 0
Очевидно, x1=1, x2 = 1/3. При помощи метода интервалов определяем промежутки возрастания и убывания вновь полученной функции (3x^2 - 4x +1). Точка, которая идёт сразу после промежутка возрастания, будет точкой максимума (вершиной бугорка). Именно она нам и нужна. В нашем примере эта точка 1/3, а конкретно это x (икс) точки максимума. y(игрек) этой точки и будет являться высотой бугорка. Чтобы его найти, подставим x = 1/3 в исходное уравнение y = x^3-2x^2+x. Получим y = 4/27. Это высота бугорка относительно оси x.
Если же Вы не сталкивались с понятием точки перегиба или производной, то я не ручаюсь, что Вы сможете предугадать эти бугорки.

Никак не предугадаешь!!!
Твоя кривулька относится к классу плоских кривых 3-го порядка.
В школе (и в ВУЗе) изучают только кривые 2-го порядка,: парабола, гипербола, эллипс (частый случай - окружность)...

В свое время И. Ньютон классифицировал плоские кривые 3-го порядка, их 96 типов
Но об этом даже в ВУЗе не рассказывают...

Такие бугорки, как ты из назвал - точки с нулевой производной функции. Если ты не в 10/11 классе, то вам и не расскажут о них. Если вдруг ты щнаешь, при какой абсциссп получается локальный максимум, то найди ординатуру и меряйся по ней.

"Бугорки" и "ямочки" предугадываются при помощи первой производной:
1. Находится первая производная по отношению к исходной функции.
2. Находятся стационарные точки (точки, в которых первая производная равна 0).
3. Определяется, меняет ли знак первая производная при переходе через стационарные точки.
3.1. Если при переходе через стационарную точку первая производная не меняет свой знак, то у исходной функции нет ни "бугорков", ни "ямочек".
3.2. Если при переходе через стационарную точку первая производная меняет свой знак с "+" на "-", то предсказывается "бугорок". "Бугорок" в математическом анализе называется максимумом функции.
3.3. Если при переходе через стационарную точку первая производная меняет свой знак с "-" на "+", то предсказывается "ямочка". "Ямочка" в математическом анализе называется минимумом функции.