Задание: Исследовать методами дифференциального исчисления функции и на основании результатов построить их графики

ну... функция непрерывна на всей числовой прямой...
уже славно...

кубическая кривая.... коэффициент при x^3 больше нуля
значит...
при х стремящемся в минус бесконечность, значение функции устремится туда же
и наоборот, при х стремящемся в плюс бесконечность,... да

первая производная
y' = x^2 + 4x + 3

приравниваем производную к нулю и ищем критические точки
x^2 + 4x + 3 = 0
(x + 3)(x + 1) = 0
x1 = -3
x2 = -1

находим вторую производную
y'' = 2x + 4

подставляем наши критические точки во вторую производную

y''(-3) = 2(-3) + 4 = -2
отрицательное значение
значит в точке х = -3 наша функция имеет локальный максимум
значение функции в точке максимума посчитаете сами

y''(-1) = 2(-1) + 4 = 2
отрицательное значение
значит в точке х = -1 наша функция имеет локальный минимум
значение функции в точке минимума посчитаете сами

ну и строите...

D(y) = R = (-∞; +∞)
Функция у ни чётная, ни нечётная, апериодическая общего вида. График пересекается с осью ординат в точке (0,-1). Чтобы найти нули функции надо решить кубическое уравнение у (x) = 0. У этого уравнения три корня - один вещественный и два сопряжённых комплексных. Значение вещественного корня х0 будет такое: пусть u=³√(0,5√21+2,5), тогда х0 = u + ¹/u - 2, или x0≈0,2790187861665935794914426. При x>x0 функция положительна, при х<x0 отрицательна.
Функция всюду непрерывна (разрывов нет !) и дифференцируема любое количество раз.
lim(x→-∞)y(x)=-∞, lim(x→+∞)y(x)=+∞.
E(y) = R = (-∞; +∞).
y' = x² + 4x +3. Стационарные (критические) точки функции х=-3 и х=-1.
Функция у возрастает при хє(-∞;-3]U[-1;+∞) и убывает при хє[-3; -1]. В точке (-3, -1) у функции максимум, а в точке (-1, -2,(3)) - минимум. Других экстремумов нет. Под множествами возрастания и убывания подразумеваются соответствующие промежутки монотонности, но не строгой монотонности! Вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот нет.
y'' = 2x + 4. При х<-2 функция вогнута, при x>-2 выпукла. Точка (-2, -1,(6)) является точкой перегиба.
Если график строится вручную, тогда нужна сводная таблица значений функции - это самостоятельно! Ниже - компьютерный график, к которому надо добавить отрезок касательной в точке перегиба, а оба экстремума тоже можно как-нибудь выделить особо: