Провести полное исследование функции методами дифференциального исчисления и построить график

y = (x²+4x-4x-16+25)/(x+4) = x - 4 + 25/(x+4)
D(y) = ℝ\{-4} = (-∞;-4)∪(-4;+∞)
Функция у(х) ни чётная, ни нечётная, апериодическая общего вида, определена на всей вещественной оси кроме точки х=-4, во всей своей области определения непрерывная и бесконечно гладкая.
График функции пересекает ось ординат в точке (0;2¼), а с осью абсцисс не пересекается (нулей у функции нет).
Промежутки знакопостоянста:
(-∞;-4) - промежуток отрицательности,
(-4;+∞) - промежуток положительности.
lim(x→-∞)y(x) = -∞
lim(x→-4-0)y(x) = -∞
lim(x→-4+0)y(x) = +∞
lim(x→+∞)y(x) = +∞
В точке х=-4 у функции разрыв второго рода в виде простого полюса кратности один с бесконечным скачком.
y' = 1 - 25/(x+4)²
Нули производной: х=-9 и х=1 - это критические точки функции, подозрительные на экстремумы.
Производная положительна при (-∞;-9) и при (1;+∞), отрицательна при (-9;-4) и (-4;1). В точке х=-9 происходит смена возрастания на убывание, следовательно это точка максимума. В точке х=1 происходит смена убывания на возрастание, следовательно это точка минимума. Обе критические точки оказались экстремальными. Промежутки монотонности:
(-∞;-9] - промежуток возрастания,
[-9;-4) - промежуток убывания,
(-4;1] - промежуток убывания,
[1;+∞) - промежуток возрастания.
Обе экстремальные точки входят в промежутки монотонности. Значения функции в экстремальных точках:
y(-9)=-18, y(1)=2.
Областью значений функции является множество
(-∞;-18]∪[2;+∞).
У функции есть две асимптоты: вертикальная х=-4 и наклонная у=х-4.
y'' = 50/(x+4)³
Вторая производная не имеет нулей, значит на графике функции нет и точек перегиба. При х<-4 вторая производная отрицательна, при x>-4 положительна. Промежутки вогнутости и выпуклости совпадают с соответствующими промежутками знакопостоянства:
(-∞;-4) - промежуток вогнутости,
(-4;+∞) - промежуток выпуклости.
График: