Решите дифференциальное уравнение 1 порядка

Жизнерадостный какой дебил на аватаре выше...
В обоих случаях замена z=y/x приведет тебя к успеху (может быть)

Пример 1.
Для решения данного дифференциального уравнения необходимо привести его к виду, когда можно применить метод разделения переменных. Для этого разделим обе части уравнения на xy:
y' = e(y/x) + y/x
Заменим e(y/x) на u и произведем замену переменных:
y = vx
y' = v'x + v
Подставляем эти выражения в исходное уравнение:
v'x + v = u + v
v'x = u
Разделяем переменные и интегрируем:
∫ du / u = ∫ dx / x
ln|u| = ln|x| + C
u = Cx
Заменяем u на e(y/x):
e(y/x) = Cx
Решаем относительно y:
y = x ln(Cx)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = x ln(Cx)
где С - произвольная постоянная.
Пример 2
Для решения данного дифференциального уравнения можно воспользоваться методом разделения переменных. Для этого перепишем уравнение в виде:
y' = (x+y)/(x-y)
Разделим обе части уравнения на (x+y):
y' / (x+y) = 1 / (x-y)
Заменим (x-y) на u и произведем замену переменных:
x = (u+v) / 2
y = (u-v) / 2
y' = (u' - v') / 2
Подставляем эти выражения в исходное уравнение:
(u' - v') / 2(u+v) = 1 / u
Умножаем обе части уравнения на 2u(u+v):
(u' - v')2 = 2u(u+v)
Разделяем переменные и интегрируем:
∫ du / u = ∫ dv / (2v)
ln|u| = ln|v| / 2 + C
u = Cv^2
Заменяем u на (x+y) и v на (x-y):
x + y = C(x-y)^2
Раскрываем скобки и переносим все слагаемые в левую часть уравнения:
Cx^2 - 2Cyx + (C+1)y^2 - x = 0
Это уравнение является уравнением конического сечения. Для его решения можно воспользоваться методом поворота координат, который сводит уравнение к каноническому виду. Однако, можно заметить, что при C=0 уравнение принимает вид y = -x, что является частным решением исходного дифференциального уравнения. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения име ет вид:
x + y = C(x-y)^2 или y = -x, где С - произвольная постоянная.