Помогите решить систему уравнения зная, что она имеет единственное решение и произведение ее коэффициентов не равно 0

А почему бы произведению коэффициентов не быть равным нулю?
Допустим, a = 0.

 { bx = c

{ cx = b

отсюда: b = c, x ∈ R

bz + by = 0

z = -y 

Решение с одной степенью свободы.
Аналогично, если принять b = 0 или c = 0, тогда y ∈ R или z ∈ R, соответственно.

А если всё же принять abc ≠ 0, тогда

 x = -c/(bay)           (1)

-c²/(bay) + az = b

z = -c²/(b²ay)         (2)

-bc²/(b²ay) + cy = a

-c/(ba) + y² = ay/c

y² - ay/c - c/(ba) = 0

D = a²/c² + 4c/ba

y₁ = (a/c + √D) / 2     y₂ = (a/c - √D) / 2 

Это подставляем в уравнение (2) и находим z и в уравнение (1) и находим x. Полагаю, там после упрощений возникнут полностью симметричные формулы.

Определитель матрицы левой части равен -2abc.
По условию, abc=/=0
Это есть необходимое и достаточное условие того, что система имеет единственное решение при любой правой части.

Проще всего Крамером.

 ......| c a 0 |

D_x = | b 0 a | = -ac² - ab² + a³

      | a c b | 



x = D_x / D = ( a²-b²-c²)/(2bc)

y = D_y / D = (-a²+b²-c²)/(2ac)

z = D_z / D = (-a²-b²+c²)/(2ab) 

{ ay + bx = c
{ cx + az = b ----> c = (b - az)/x
{ bz + cy = a -----> b = (a - cy)/z
=>
ay + bx + cx + az + bz + cy