Как посчитать значение выражения sqrt(-1)^sqrt(-1) ?

u = ✓(-1) = ±i - это два разных комплексных чисто мнимых числа, для которых
㏑(u) = (±π/2 + 2πk)•i = (4k±1)•πi/2, k∈ℤ.
Если бы выражение было uᵘ, то множеством его значений было бы exp(u•㏑(u)). Тогда для комплексного корня с положительной мнимой частью:
exp(i²•(4k+1)•π/2) = exp(-(4k+1)•π/2), k∈ℤ,
а главное значение exp(-π/2). Для комплексного корня с отрицательной мнимой частью:
exp(-i•(4k-1)•πi/2) = exp((4k-1)•π/2), k∈ℤ, а главное значение степени (при k=0) то же самое, что и в предыдущем случае, да и само множество степеней такое же.
Итак, главное значение uᵘ
при u=✓(-1) равно ехр(-π/2).
Однако (✓(-1))^(✓(-1)) не обязательно означает, что основание и показатель степени одинаковы, потому что в данном случае ещё возможны комбинации
(-i)^i и i^(-i), при которых главным значением степени получается вот такой результат:
exp(π/2) ≈ 4.81047738096535

√ (-1) = i
(i)^(i) = 1 / exp(π/2) ≈ 0,208

Формула Муавра

0.20787957635...

Я понимаю, что ответ, скорее всего, уже нагуглился, но мне хочется кое-что подчеркнуть.

Стандартное рассуждение имеет следующий вид. Вспомним о том, что у комплексных чисел есть показательная форма записи:
z = r (cos θ + i sin θ) = r e^(iθ)

Нетрудно понять, что можно представить i = e^(iπ/2), поэтому
i^i = (e^(iπ/2))^i = e^(-π/2) ≈ 0.2078...

А теперь, собственно, замечание: возведение комплексного числа в комплексную же степень -- многозначная операция. Тригонометрические функции периодичны с периодом 2π, поэтому, вообще говоря, i = e^(i(π/2 + 2πk)) при целых k. Так что формально при всех целых k
i^i = e^(-π/2 + 2πk)

Поэтому у i^i бесконечно много вещественных значений, например,
k = 1: i^i = e^(-π/2 + 2π) ≈ 111.3177...
k = 0: i^i = e^(-π/2) ≈ 0.2078...
k = -1: i^i = e^(-π/2 - 2π) ≈ 0.0003...

Насколько при этом разумно выбирать случай k = 0 и ограничиваться только главной ветвью -- судить не мне, это зависит от того, в какой конкретно задаче возникает i^i.

Подкоренное значение не может быть меньше нуля.

Корней из отрицательных чисел не существует