Чему равна сумма всех цифр (не чисел) от 1 до 1 000 000 ?

Найдём сначала сумму всех цифр всех чисел от 0 до 999999. Для этого каждое число превратим в шестизначное, дописав слева нужное количество нулей (например, число 571 превратится в 000571). Суммирование нулей в общем подсчёте ни на что не влияет.
В результате у нас есть числа от 000000 до 999999, которые составляют всевозможные комбинации из 6 символов, где каждый символ может быть 0; 1; 2 и т.д. до 9.
Т.к. это всевозможные такие комбинации, то в силу симметричности каждая цифра от 0 до 9 встречается во всех таких комбинациях одинаковое число раз. Если выписать подряд все такие числа, то получим 6 миллионов цифр (миллион чисел, в каждом по 6 цифр). Следовательно, каждая из цифр встречается в 10 раз реже, чем их общее количество, т.е. по 600 тысяч раз. Следовательно, сумма всех этих цифр равна 600 000*(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 600 000*45 = 27 000 000. Теперь учтём ещё и миллион, который мы убрали в начале. Он даёт ещё +1.
Таким образом, искомая сумма равна 27 000 001.

1+0+0+0+0+0+0=1

Сумма всех цифр в пределах одного разряда — 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45

Есть однозначные числа, там один разряд — 45
Есть двузначные, где два разряда — 45*45
Есть трёхзначные, где три разряда — 45*45*45
Есть четырёхзначные, где четыре разряда — 45*45*45*45
Есть пятизначные, где пять разрядов — 45*45*45*45*45
Есть шестизначные, где шесть разрядов — 45*45*45*45*45*45
И семизначное число только одно — оно даёт единицу.

Итого: 45+45^2+45^3+45^4+45^5+45^6+1 = 45+2025+91125+4100625+184528125+8303765625+1 = 8492487571

Ответ: 8 492 487 571

С ответом в 27000001 можно не согласиться

P.S. В ходе суждений не уверен. Возможно, у кого-то получится убедить меня в том, что ответ неверный.

27000001

Фотография профиля для Алана Бустани

Алан Бустани

Trinity Wrangler, 1977 IMOУ автора 8,6тыс. ответов и 33,2 млн просмотров ответов1год

Похожие

Какова сумма всех цифр от 1 до 1 000 000? Обратите внимание, что вам нужно найти сумму цифр, а не чисел!

Миллион чисел из 000000 Для 999 999 есть шесть цифр со средним значением 4.5 в общей сложности 9×4.5×10^6=4.05×10^7. Удаление нуля и добавление 1 (для миллиона) дает: 4 0500 001.
------------------
0- 1 000 000 000

Пользователь Quora

У автора 3,9 тыс. ответов и 1 МЛН просмотров ответов1год

В среднем 10 чисел:[0+1+2+3+4+5+6+7+8+9] / 10 =4.5 на цифры


Каждое число может быть представлено в виде 10-значного числа с начальными нулями следующим образом:


000 000 0001, 000 000 0002, 000 000 0003 .... и так далее до 9 000 000 000.


Следовательно, мы имеем: 9 000 000 000 x 4,5 + 1 = 40 500 000 001 - сумма всех цифр от 1 до 1 000 000 000 включительно.


—————————————————————————————————————————————-


Второй метод [Это поворот метода Гаусса !!]: Добавьте: 0 + 999 999 999 = 9 x 9 = 81 и 1 + 999 999 998 = 81 и 2 + 999 999 997 = 81. Поскольку у нас есть 1,000,000,000 / 2 * 81 =40,500,000,000 + 1 ==40,500,000,001

седьмой разряд - только единица, один раз
шестой разряд "прокрутится" от 1 до 9 - 1 раз
пятый разряд - 10 раз
четвертый - 100 раз
третий - 1k раз
второй - 10k раз
первый - 100k раз

одна прокрутка равна сумме от 1 до 9, что равно 10*4+5 = 45
всего прокруток 111111, плюс единица
ответ: 4999996