Помогите уже с уравнением в натуральных числах

что сделать то надо, равно уже стоит

Решим уравнение:

$$2^x = 3^y + 509$$

Для начала заметим, что $509$ - простое число.

Теперь рассмотрим уравнение по модулю $3$. В этом случае левая часть принимает значения $0$ или $1$, а правая - $1$ или $2$. Из этого следует, что $y$ четное. Пусть $y=2k$. Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

$$2^x - 3^{2k} = 509$$

Заметим, что $2^x$ и $3^{2k}$ имеют разную четность, поэтому разность $2^x - 3^{2k}$ - нечетное число.

Теперь рассмотрим уравнение по модулю $4$. В этом случае левая часть принимает значения $0$ или $2$, а правая - $1$ или $3$. Из этого следует, что $x$ нечетное. Пусть $x=2m+1$. Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

$$2\cdot 4^m - 3^{2k} = 509$$

Заметим, что $2\cdot 4^m$ и $3^{2k}$ имеют разную остаточную часть по модулю $5$, поэтому разность $2\cdot 4^m - 3^{2k}$ - не кратна $5$.

Таким образом, мы получили противоречие, и решений уравнения в натуральных числах нет.

Между прочим, ChatGPT (см. ответ выше) идет по правильному пути. Кстати, можно задать ему вопрос, может ли среднестатистический идиот с его помощью выглядеть еще большим идиотом.

Если рассмотреть уравнение по модулю 3, 4, 5 то получим, что x=4n+1, y=4m+1
(По модулям 3, 4 мы получим, что и х, и у нечетные, по модулю 5 получим то, что написано выше)
В принципе, этого достаточно для решения, но при желании можно рассмотреть еще по какому нибудь модулю и получить дополнительные связи между х и у.
Т.о. разность (х-у) кратна 4. Дальше будем действовать перебором, а организуем этот перебор следующим образом: для каждого y=4m+1 рассмотрим
1) минимальное х(min1)=у+4k такое, что 2^x(min1)-3^y>0
и
2) минимальное х(min2) такое, что 2^x(min2)-3^y>509
Если при данном "у" разность (2^x(min1)-3^y)<509, то решение, если оно существует, находится в границах x(min1)<x<х(min2), х≡1(mod 4)
При этом и х(min1), и разность (2^x(min1)-3^y) увеличиваются с ростом "у" и не ограничены сверху.
(↑Это как говорится ясен красен, но по хорошему надо доказать)
Поэтому для какого то "у" разность 2^x(min1)-3^y просто превысит 509, т.е. x(min1) совпадёт с x(min2) а значит данное и все бОльшие значения "у" можно уже не рассматривать.
Выше было типа по научному, ниже по колхозному, на пальцах:
если у=1 х(min1)=1+4=5, x(min2)=1+12=13, x=9 - решение
Если у=5 х(min1)=5+4=9, x(min2)=13, а это следующее число х≡1(mod 4)после 9, решений нет.
Если у=9 х(min1)=9+8=17=х(min2) и разность 2^17-3^9=111389>509 и значит, при у=4m+1⩾9 решений заведомо нет.
Поэтому (9,1) единственное решение.