Сумма натуральных чисел оказывается отрицательна!

Громоздкая формула Эйлера-Маклорена использовалась математиками для разных целей. Так как в ней, с одной стороны, стоит сумма значений функций в определенных точках, а с другой — есть и интегралы, и разложения в ряд, при помощи этой формулы можно (в зависимости от того, что нам известно) как взять сложный интеграл, так и определить сумму ряда.

Нет

например чтоб узнать сумму 0,1,2,3,4, записываем под ней в обратном порядке и складываем сумму в столбце 4,3,2,1,0
в каждом столбце сумма 4 а столбцов 5
значит4*5=20
20/2=10 сумма натурального ряда до 4

теперь от нуля до бесконечности
∞*(∞+1)/2=(∞²+∞)/2
как видим отрицательных дробных нет

Ты этот прикол не понимаешь.

Обобщенных методов суммирования рядов - вагон и маленькая тележка.
Интререснее, когда какая-то не до конца доработанная физическая теория дает расходящийся ряд, опыт показывает, что было бы клево, если бы он сходился к -1/12, а какой-то из популярных методов обощенного суммирования дает именно такой результат.

Такая ситуация намекает на то, что в физ, теории неплохо бы переписать аксиоматику, чтоб расходящиеся ряды не лезли....

Эти фокусы с суммами расходящихся рядов давно известны. Когда сумма в принципе не существует, получить можно что угодно.

Интересно, чем нужно уколоться, или обкуриться или каких колёс наглотаться, что бы такой бред придумать?

Сумма 1+2+3+...расходится. И не равна -1/12. На самом деле, это не совсем верные мат. выражения, это просто по своей сути сокращения.

Например 1+1/2+1/4+⋯ обычно означает ∑(i=0, ∞) 1/(2^i) или, еще точнее, lim n→∞ ∑(i=0, n) 1/(2^i).

Согласно традиционной интерпретации бесконечного ряда, суммы 1+2+3+...не существует. Даже если мы сформулируем его аналогично дзета-функции, например, lim s→-1 ∑(i=1, ∞) 1/(i^s), его тоже не существует! Тогда откуда вообще взялось -1/12?

На самом деле это равно ζ(-1), это связано с дзета-функцией. Теперь нам нужно определить дзета-функцию. Давайте начнем по частям. Во-первых, для всех действительных чисел s>1 мы можем показать, что ∑(i=1,∞) 1/(i^s) сходится. Пусть ζ(s) равно этому. (Обратите внимание, что мы все еще ничего не знаем о ζ(-1)).

Но нас не устраивают только реальные числа больше единицы, мы хотим определить их в более крупной области. Получается, что сумма ∑(i=1, ∞) 1/(i^s) также сходится для любого комплексного числа s с действительной частью больше 1. Здесь возникает естественный вопрос, можем ли мы каким-то образом распространить его на всю комплексную плоскость. Есть естественный способ сделать это, называемый аналитическим продолжением. Основная идея состоит в том, что на комплексной плоскости есть определенные функции, которые очень хороши (аналитические). т. е. они гладкие (бесконечно дифференцируемые) в каждой точке. Все обычные функции, такие как экспоненциальные, тригонометрические или полиномы, попадают в эту категорию. Так случилось, что есть только одна аналитическая функция, которая равна дзета-функции в точках, которые мы уже определили (это вовсе не очевидно). Небольшая оговорка, мы все еще не можем определить его для s=1. Теперь, если мы назовем общую функцию ζ(s) для всех комплексных чисел s, кроме 1, то ζ(-1) должно быть -1/12.

Но это ничего не говорит об изначальном утверждении. В конкретном контексте дзета-функции Римана (которая, кстати, имеет очень красивые свойства и интересное применение в теории чисел), это много значит.