Почему армию берем за 1?

Потому что если фигурирует доли - одна какая-то - то в целом это составляет ОДНУ единицу

давным давно принято брать за единицу имеющегося -
1 или 100%
это мб ведро ягод
кукан выловленной рыбы
сумка купленного товара
объем трюма торгового судна.
да что угодно.
мульт помните "38 попугаев"- удава измеряли в слонятах. и др.
но ему понравилась мера в шагах попугая- это было солиднее-38 и одно попугайское крылышко.

За 1 берут не только армию, а что угодно, от чего берется часть. 1=100% к тому же

Да, да! Вам всё правильно объяснили, но в данном конкретном случае это, как раз, не очень удобно. Лучше обозначить все полки не 1, а "х". Тогда, 7х/20 + 13х/30 + 26 = х =>
13x/60 = 26 => x = 120.
1 удобна тогда, когда ВСЁ дано в частях. А здесь ещё даны 26 полков и надо ещё искать какую часть они составляют от 1. Это, конечно, не трудно, но, всё таки...

Ну метод-то работает, вот его и используют. Мне тоже эта единица не нравится. Поэтому и не беру ничего за единицу.
Более очевидным (и, я считаю, более правильным) решение будет, если ввести переменные. Предположим, что в армии было Х полков. Тогда стрелецких полков было (7/20)*Х штук, драгунских - (13/30)*Х штук.
Количество казацких полков = Всего полков - стрелецких полков - драгунских полков.
26 = Х - (7/20)*Х - (13/30)*Х
Вынести Х за скобки
26 = Х*(1-7/20-13/30)
26 = Х*(13/60)
Х = 26/(13/60) =120

В данном случае можно принять армию за 60. Тогда стрелецкие полки 21/60, драгунские 26/60. На долю казацких (26 полков) приходится 13/60. Поэтому совсем не обязательно принимать за 1.

Потому что это удобно. Для вычислений умножать и делить на единицу проще. Так принято. Общее число всего берут за 1 или 100%

120 полков*). Не?