Помогите найти ошибку в решении sinx+cosx=1

Это неверно, идём и повторяем алгебру 5-го класса, или где сейчас полиномы изучают:

 1-sin^2x = 1 - 2sinx + sin^2x 

такого равенства в природе не существует.

Нужно не изобретать способы удаления гланд через задний проход, а решать по-нормальному:

 sin x >= 0

cos x >= 0

(иначе сумма не сойдётся)

sin² x + 2 sin x cos x + cos² x = 1²

2 sin x cos x = sin 2x = 0

2x = πk  (k ∈ Z)

x = πk/2 

Неверно начиная с самого начала: cosx = ± √(1 - sin^2(x)). Надо рассматривать два случая: это самый поганый путь решения. А второй вариант - всё правильно.

Как уже сказали, первое неверно.
При решении уравнений и неравенств играть с корнями надо аккуратно (со степенями вообще надо быть аккуратным).
В данном случае и sin, и cos неотрицательны, поэтому можно смело возвести в квадрат:
sinx + cosx = 1
sin²x + 2sinx cosx + cos²x = 1
(sin²x + cos²x) + 2sinx cosx = 1
1 + 2sinx cosx = 1
sinx cosx = 0
[ sinx = 0 ………… х = pin, n € Z
[ cosx = 0 ………… x = pi/2 + pik, k € Z
Получаем: х = pim/2, m€ Z

синус + косинус единице не равен. А равна сумма квадратов синуса и косинуса

sin(x)^2+cos(x)^2=1