На поле встретились две армии: 1000 толстых и 1000 тонких

Решение:
Пусть Тонкие своим единственным залпом убили n Толстых. Тогда вторым залпом Толстые убьют не более 1000 – n Тонких, поэтому за два последних залпа погибнет не более 1000 солдат с той и другой стороны.

Пусть после первого залпа Толстых в живых осталось x Тонких. Возможны два случая:

1) x ≤ 500. Тогда после залпа Тонких у Толстых останется в живых не менее 1000 – x солдат, что не меньше 500, и утверждение в этом случае доказано.

2) x > 500. Тогда после первого залпа Толстых у двух армий в сумме более 1500 живых солдат. Как показано выше, за два последних залпа не может погибнуть более 1000 человек, что и завершает доказательство.

Видимо в задаче не имеется в виду, что все стреляют одновременно и, возможно, попадают в одних и тех-же челиков. Считается что пуля долетает мгновенно и стреляют армии по очереди.
Сначала бахнут жиробасы. Возьмем что они убили очень много тонких, например 90%. Значит останется 100 тонких, которые в свою очередь убьют не более 100 толстых ответным выстрелом, верно?
Итого останется 900(в худшем для толстых случае) толстых и 100 тонких. Значит останется 900(или больше толстых) и 100 тонких. 900+100 = 1к Пойдет.
Так-же будет справедливо, если толстяки будут кривыми и убьют, например 5% тонких.
Тонких останется 950 человек, которые, как очень меткие ребята, бахнут 950 жиробасов.
Жирных останется 50(или больше, если тонкие косые), тонких как минимум 950
50+950 = 1к и более. Сошлось

Все верно останется не меннее 1000 людей