Основная теорема арифметики.

Предполагаешь, что есть два разложения.
Упорядочиваешь мнодители в них
А затем ищешь первое несовпадение. (после каждого совпадения отбрасываешь совпавшие множители)

Качественное доказательство ОТА легко ищется по запросу "Основная теорема арифметики Трушин". Борис Трушин в своём видео легко доказывает и существование и единственность.
Поскольку спрашивалось именно про единственность, то поясню подробнее именно про него, по пунктам.

1. Предполагаем, что существует число n, которое раскладывается на простые множители двумя разными способами. Его же мы вправе считать наименьшим среди таких чисел (перебираем несколько первых чисел, убеждаемся, что их разложение единственно).

2. Доказываем, что разложения n = p(1)*p(2)*...*p(k) = q(1)*q(2)*....*q(m) (где все простые сомножители упорядочены по возрастанию) таковы, что среди них нет одного и того же простого множителя, т. е. что для любых i от 1 до k и j от 1 до m выполняется p(i) ≠ q(j). Действительно, если бы там был одинаковый множитель, то сокращая на него, мы получили бы меньшее простое число, которое раскладывается двумя разными способами, а мы предположили, что n - самое маленькое.

3. Понимаем, что n - составное число (т. к. всякое простое можно единственным способом представить в виде произведения простых - его же и взять). Значит n ⩾ p(1)^2 (раз n - составное, то в нём есть хотя бы 2 простых множителя, и p(1) - самый маленький из его простых множителей). Аналогично n ⩾ q(1)^2. Причём одно из этих неравенств строгое (т. к. p(1) ≠ q(1)). Перемножая их и извлекая квадратный корень, получаем n > p(1)q(1)

4. Рассмотрим число c = n - p(1)q(1). Очевидно, оно натуральное и меньше n. Кроме того, т. к. n делится и на p(1), и на q(1), то и c делится на p(1) и на q(1).

5. Поскольку c < n, то оно единственным образом раскладывается на произведение простых. Тогда если оно делится на p(1), то в разложении c этот множитель p(1) обязан быть. Аналогично, среди множителей есть и q(1), и так как эти множители не равны друг другу, то в разложении c есть они оба, следовательно, c делится на их произведение p(1)q(1). Но т. к. c = n - p(1)q(1), то отсюда следует, что и n делится на p(1)q(1)

6. Итак, n делится на p(1)q(1), следовательно верно n = p(1)q(1)*d, где d - некоторое натуральное число. С другой стороны n = p1*p2*....*p(k). Приравнивая эти два разложения и сокращая на p(1), получаем q(1)*d = p2*...*p(k). Слева и справа - число, которое меньше n, и мы для него получили два разных разложения на простые (слева есть множитель q(1), а справа его нет). Получили противоречие, что доказывает единственность.