Контрольная по математике

Так как функция z = x^2 + 2y^2 + 1 является параболической поверхностью с ветвями, выпуклыми вверх, то ее минимальное значение будет достигаться в точке (0,0) - вершине треугольника D. Максимальное значение достигается на границе области D - на прямой x+y=3.

Найдем минимальное значение функции z:

z(0,0) = 0^2 + 2*0^2 + 1 = 1

Найдем максимальное значение функции z на прямой x+y=3:

z(x,y) = x^2 + 2y^2 + 1

x+y=3 => y = 3-x

z(x) = x^2 + 2(3-x)^2 + 1
z(x) = x^2 + 18 - 12x + 2x^2 + 1
z(x) = 3x^2 - 12x + 19

Это квадратичная функция, которая имеет вершину в точке x = 2 и достигает максимального значения в точке x = 0 и x = 3. Так как мы рассматриваем только область D, то максимальное значение функции будет достигаться на границе области - на прямой x+y=3 в точке (0,3) и (3,0). Найдем максимальное значение функции в точке (0,3):

z(0,3) = 0^2 + 2*3^2 + 1 = 19

Таким образом, минимальное значение функции z = f(x,y) равно 1 и достигается в точке (0,0). Максимальное значение функции z = f(x,y) равно 19 и достигается на прямой x+y=3 в точке (0,3) и (3,0).

Надеюсь, что ответ поможет тебе!

Кому оценку ставят?

Привет! Решим задачу по нахождению наименьшего и наибольшего значения функции z(x,y)=x^2+2y^2+1 в заданной области D.

Чертеж заданной области D:


/|
/ |
/ |
/___|
x+y=3
0<--->|
x-axis


Как видно из чертежа, область D представляет собой треугольник в I координатной четверти ограниченный линиями x=0, y=0 и x+y=3.

Для решения задачи наименьшего значения z(x,y), найдем минимальное значение функции на границах области:

- при x=0, y=0 имеем z=0+0+1=1;
- при x=0, y=3 имеем z=0+2·3^2+1=19;
- при x=3, y=0 имеем z=3^2+0+1=10.

Теперь рассмотрим внутреннюю область треугольника D. Поскольку функция z(x,y)=x^2+2y^2+1 является квадратичной функцией от переменных x и y, то внутри области D значение функции будет наименьшим в точке экстремума, которая находится внутри треугольника D.

Найдем частные производные функции z(x,y) по x и y, приравняем их к нулю и решим систему уравнений:

∂z/∂x=2x=0,
∂z/∂y=4y=0.

Решением этой системы является точка (x,y)=(0,0).

Таким образом, минимальное значение функции z(x,y) равно z(0,0)=1.

Для нахождения наибольшего значения функции z(x,y) необходимо найти максимальное значение функции на границах области D:

- при x=0, y=0 имеем z=0+0+1=1