Можно ли перевестись служить ближе к дому если у родителя группа инвалидности?

Смотря какой военнослужащий. Если по призыву, то это практически нереально. И потом просто иметь группу инвалидности совсем недостаточно. Органы МСЭ должны вынести специальное заключение о нуждаемости родителя в постоянной посторонней помощи. В этом случае военнослужащий по призыву может быть досрочно уволен в запас, а военнослужащий по контракту теоретически будет иметь основание для начала ходатайства о переводе.

Можно, по личному ходатайству с приложением соотвествующих документов. Но что это изменит? Армия не проходной двор, и выходных там нет. И отпускать из части помогать родителям вас тоже не отпустят.

В принципе такая возможность сушествует.
Приказ МО № 400:
призывники, имеющие детей, а также больных и пожилого возраста родителей (женщины - старше 55 лет, мужчины - старше 60 лет) , но не попадающие под требования подпункта "б" пункта 1 статьи 24 Федерального закона от 28 марта 1998 г. N 53-ФЗ "О воинской обязанности и военной службе", ПО ВОЗМОЖНОСТИ направляются для прохождения военной службы в воинские части Вооруженных Сил, других войск, воинских формирований и органов, дислоцированные вблизи места их проживания, в пределах установленных норм призыва граждан на военную службу для соответствующих муниципальных образований. При этом гражданин обязан документально подтвердить наличие у него указанных родственников;

Но этим надо было заниматься ДО призыва!! !
Сейчас же перевод практически не осуществим. Пока вы бюрократическую машину провернёте срок службы закончиться.

Пишите рапорт и прикладывайте все документы!

Думаю, что это реально!