Могут ли объявить призывника в розыск (прокуратура, или в федеральный розыск), если он не подписал ни одной повестки?!

В случае неявки без уважительной причины по повестке военного комиссариата на соответствующие мероприятия гражданин считается уклоняющимся от военной службы и привлекается к ответственности в соответствии с законодательством Российской Федерации.
Уважительными причинами неявки гражданина по повестке военного комиссариата при условии документального подтверждения причины неявки являются: заболевание или увечье, связанное с утратой работоспособности; тяжелое состояние здоровья отца, матери, жены, мужа, сына, дочери, родного брата, родной сестры, дедушки, бабушки или усыновителя гражданина либо участие в похоронах указанных лиц;
препятствие, возникшее в результате действия непреодолимой силы, или иное обстоятельство, не зависящее от воли гражданина; иные причины, признанные уважительными призывной комиссией или судом.
По истечении действия уважительной причины граждане являются в военный комиссариат немедленно, без дополнительного вызова.
Статья 328. Уклонение от прохождения военной и альтернативной гражданской службы (Уголовный кодекс РФ)
1. Уклонение от призыва на военную службу при отсутствии законных оснований для освобождения от этой службы наказывается штрафом в размере до двухсот тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до восемнадцати месяцев, либо арестом на срок от трех до шести месяцев, либо лишением свободы на срок до двух лет.

Объявить в розыск могут. И уголовное дело заводят без проблем, даже если ничего не подписывал. Так что не питай иллюзий.

Очень вряд ли. По крайней мере, я думаю, что не объявят. У них хватает тех, чьи лично подписанные повестки на руках находятся.

в розыск не знаю, но здесь будет статья 21.5 КоАП - неисполнение гражданами обязаностей по воинскому учету - предупреждение или штраф от 100 до 500 рублей.