Может ли парень получить отсрочку от службы в армии как единственный кормилец в семье?

Статья 24. Отсрочка от призыва граждан на военную службу
1. Отсрочка от призыва на военную службу предоставляется гражданам:
а) признанным в установленном настоящим Федеральным законом порядке временно не годными к военной службе по состоянию здоровья, - на срок до одного года;
б) занятым постоянным уходом за отцом, матерью, женой, родным братом, родной сестрой, дедушкой, бабушкой или усыновителем, если отсутствуют другие лица, обязанные по закону содержать указанных граждан, а также при условии, что последние не находятся на полном государственном обеспечении и нуждаются по состоянию здоровья в соответствии с заключением органа государственной службы медико-социальной экспертизы по месту жительства граждан, призываемых на военную службу, в постоянном постороннем уходе (помощи, надзоре) или являются инвалидами первой или второй группы, гражданами пожилого возраста (женщины старше 55 лет, мужчины старше 60 лет) , или не достигли возраста 18 лет;
в) имеющим ребенка, воспитываемого без матери;
г) имеющим двух и более детей;
д) имеющим ребенка в возрасте до трех лет;
е) мать (отец) которых кроме них имеет двух и более детей в возрасте до восьми лет или инвалида с детства и воспитывает их без мужа (жены) ;

и по другим основаниям.

Мама должна быть инвалидом 1 группы, причем неспособным сама себя обслуживать, тогда сыну дадут отсрочку, если в семье нет больше никого, кто может за матерью ухаживать. Решение об этом принимает специальная врачебно-социальная комиссия, и по ее заключению военкомат оформляет отсрочку.

В описанном вами случае - нет. Законом определены основания для отсрочки от призыва.
Прочтите статью 24. часть 1 пункт "б". Отсрочка от призыва граждан на военную службу"
Чтобы получить отсрочку по данному пункту, необходимо наличие ВСЕХ перечисленных в ней условий: занят постоянным уходом за матерью, отсутствие других лиц, обязанных осуществлять такой уход, не находиться на полном государственном обеспечении, заключение бюро МСЭ о нуждаемости в постоянном постороннем уходе.
В этой статье приведены и другие основания для отсрочки. Возможно, он им соответствует.

Если мама инвалид 1 или 2 группы, имеющая справку из МСЭ о том, что за ней нужен постоянный уход, то тогда сына не призовут в армию.

Не просто инвалидом, но иметь справку о том, что нуждается в постоянном уходе. Надо быстро жениться и родить двоих детей, ну или поступить очно в институт, еще вариант хорошенько обследоваться и найти непризывное заболевание, и последнее альтернативная служба (она может проходить по месту жительства)

да, если есть ребенок до 3-х лет, или инвалид иждевенец

Да.... Если у него есть ребёнок....