Обязано ли учреждение сдавать ежемесячный отчет в военкомат по движение кадров - военнообязанных?

Проштудируйте внимательно Методические рекомендации по ведению воинского учета в организациях" (утв. Генштабом Вооруженных Сил РФ 11.04.2008).
Если никаких ежемесяч. отчетов там нет (я там тоже такого не нашла) , то берите с собой второые экземпляры всех отчетов, сообщений о приеме-увольнении, тетрадь сверок и проверок и идите в прокуратуру. Хорошо, если у вас недавно была проверка и в тетради не записано подобного нарушения.
Если ваш военкомат придумал что-то новое- пусть докажет, что он вас известил об этом.

Вообще-то ежемесячные отчеты в военкомат всю жизнь направляли. Я не знаю как это у вас упустили этот момент. Это еще с советского времени идет. А если прокуратура действительно приглашает для дачи объяснений по этому поводу, то будьте уверены, что основание для этого есть. Просто так поговорить за нашу жизнь они вызывать не будут. По крайней мере они вам обязательно должны довести, на основании каких нормативных актов они предъявляют такие требования и обязательно указать эти основания в своем прокурорском предписании об устранении нарушения закона.

Периодичность всей отчетности еще устанавливается решением местной власти о порядке воинского учета на территории региона. Такие нормативные акты есть и на уровне субъекта, есть такие же и в районах. Вот их и ищите.

Им мало списков принятых уволенных, так еще чего-то требуют. Задайте вопрос в рабочий день, когда кадровики тут сидят на ответах.

Конечно обязано.