Может-ли Военкомат отправить на обследование к психиатру на вменяемость призывника? И на каком основании?

основанием могут послужить уже упомянутые татуировки, неудовлетворительные результаты теста "Прогноз-1" (как правило, именно его в военкомате призывникам предлагают пройти), вызывающее поведение или конкретный неадекват.
однако, неадекват может переть и у самого психиатра. лично знаю ситуацию, при которой абсолютно здорового парня отправили на стационарное обследование на основании того, что он "вызывающе положил ногу на ногу, поза его выражала пренебрежение". так что - всякое может быть.
документальным основанием выписки акта и оформления направления в ПНД (или стационар психиатрической клиники) является "Лист медицинского освидетельствования", который обязан заполнить и оставить в личном деле призывника психиатр. вот в этом "Листе" и должны быть прописаны основания. сын вправе потребовать ознакомить его с этим документом, вправе обжаловать решение в вышестоящей инстанции (областной или республиканский военкомат), или в суде.
в любом случае, при стационарном обследовании данные пациента попадают в базу, где и будут находиться 50 лет. кто знает, когда, при каких обстоятельствах и каким боком это вылезет. так что, в любом случае, лучше настаивать на проведении обследования амбулаторно (в психоневрологическом диспансере). от помещения в стационар психиатрического профиля гражданин вправе письменно отказаться (на основании ст. 4 закона "О психиатрической помощи и гарантиях прав граждан при её оказании" и ст. 20 "Об основах охраны здоровья граждан в РФ").

На основании сомнений в его психической полноценности

Военкомату по фиг чья-либо вменяемость. Ему нужно определить категорию годности к военной службе.

На вменяемость нет. А на освидетельствование на предмет годности к военной службе - имеет полное право.

я б сходил...

Даже из-за татуировок может

Многих отправляют, можно не соглашаться, если ляжете в психушку поставят диагноз психический почитайте в нете что пишут беспредел один, всем ставят левые диагнозы, все Российские психиатры они сами дебилы, их лечить надо всю жизнь самих.