Какой сотовый телефон позволяет закачивать и читать книги, в том числе аудио-книги? Как называется такая функция?

Практически любой телефон с поддержкой ява на котором нормально работете опера-мини или аська (джим) . То бишь телефон с ява профилем MIDP 2.0 и поддержкой JSR-75. Их большинство на рынке.
Для чтения книг потребутся либо программы работающие на телефоне - с их помощью можно открыть текстовый файл например - MicroReader-1.4z3.
Либо программы работающие на компе и в процессе своей работы генерирующие ява приложения для телефона. То бишь вы с помощью таких программ делаете себе ява-книги. Я рекомендую последний вариант так как некоторые программы генерируют очень удачные ява приложения с хорошей функциональностью - цвет шрифта и фона размер шрифта закладки и все такое. Некоторые программы делают даже ява книги с картинками если они есть в исходном тексте. Вот некоторые -
BookCutter
BookMaker
sebook
ТЕКИЛА БУК РЕЙДЕР -2.2.8
Сами книги в сети иногда находятся в архивах. Если книга скачиватся с помощью мобилы то неплохо установить jzipman86rus. Эта прога архиватор ZIP. Книги вообще лучше качать в формате ТХТ. Проблем меньше. Вообще поиск в гугле выглядит так - <имя книги> ТХТ скачать бесплатно - вылезет куча сайтов.
Вот некоторые -

Библиотека - все книги - http://allbooks.com.ua/
Библиотека по жанрам - http://bookru.net/buk/E9/index.htm -
Бесплатная электронная интернет библиотека - http://zipsites.ru/
Художественная литература - http://www.books-online.ru/
Хорошая электронная библиотека - http://thelib.ru/
Электронная библиотека Смартлиб- http://www.smartlib.ru/ppl/index_win.htm...
Библиотека зарубежной фантастики - http://www.scilib.ru/
Электронная библиотека классической литературы - http://www.klassika.ru/about/
Фэнтези - http://nautilus.align.ru/auth.php?g=52

Вообще рекомендую купить коммуникатор на Виндоус Мобиле. Это уже как правило большой экран. Помимо того что читалок на него есть и немало. И пдф и дежавю в том числе. Кроме того ВМ сама по себе гибкая система. Хочешь интерфейс смени до неузнаваемости хочешь настрой как тебе удобно. Проги не требуют сертификатов как в Симбе. А еще в ВМ есть преемственность поколений то есть на ВМ 6.5 пойдут проги написаные для ВМ 6.1 6.0 5.0 даже для смартов на ВМ.

А аудиокниги это обычные файлы МР3 как обычная музыке. Книга в папке поделена на главы или даже параграфы. Трудно найти телефон без поодержки МР3 сейчас. Вопрос только в размере флэшки. Создаешь плейлист с книгой и слушаешь. Надо сказать что средняя аудиокнига весит весьма изрядно поэтому вопрос о размере флэшки не риторический.

Я лично использую Самсунг i900 WiTu. Помимо прочих достоинств у него экран с диагональю в 3.2 дюйма. Регулировка яркости или автомат или вручную. То есть для чтения вполне удобен. С помощью AlReader2.5 Vobis Edition читать очень удобно. Она сама распаковывает архивы и поддерживает почти все известные текстовые форматы. Для КПК кста в сети куча книг в спецформатах. А еще в нем уже встроено 8 гигов памяти. Есть версия и с 16 гигами. Плюс поддержка карт скажем в 16 гигов. Это к вопросу о аудиокнигах.

смартфоны и коммуникаторы, для них ограничений в интернете практически нет, почти любые сайты, любые файлы качают, например для смартфонов нокии есть даже спец прога для этого Nokia Audiobook Player ,удобная. На коммуникаторах CorePlayer и др плееры можут читать....

телефонам это недоступно, Вам нужен смартфон или коммуникатор

Ещё бы посоветовал посмотреть прогрмму BookReader

Я бы посоветовал купить планшет. Они не очень дорогие, и на них удобнее читать чем на телефоне.