Как может любое тело остывать в тёплой комнате быстрее, чем в холодной?

мммм... По закону физики более нагретые тела отдоют энергию менее нагретым, и сами следовательно остывают.
Количество тепелоты, отданное холодному телу (В данном случае это воздух) .
Т е остывание -это есть вроцесс уравнения температур, холодный воздух будет стремиться нагреться до температуры нагретого тела, и будет её поглащать, пока это тело не станет по температуре равным этому воздуху
Значит, выходит, чем холоднее воздух, тем быстрее остынет тело

Радуйтесь, сегодня вечером ваша учительница скажет, что охлаждать лучше паяльником, завтра изобретёт вечный двигатель, послезавтра начнёт общаться с дУхами, но через неделю ей таки запретят общаться с соседями по палате

Скорость убывания температуры тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды - это если брать закон Ньютона-Рихмана. Да плюс ещё излучение, поток энергии которого пропорционален разности аж четвёртых степеней температур тела и окружающей среды.
Либо Вы что-то упустили из задачки, либо что-то упустила Ваша учительница.

Сказать можно все, что угодно. Есть такая легенда, что вопреки здравому смыслу якобы существует такой непонятный парадокс, но опыт ( http://collaid.ru/razdel12/tema1224956483.html ) это опровергает.
P.S. Подробно об этой легенде - тут http://wsyachina.narod.ru/physics/mpemba.html , особенно вторая статья.

Не знаю точно, но может быть зависит от влажности воздуха.
Чем больше влажность тем больше теплоемкость воздуха.

Тут, я так понимаю, говорится о теплоотдаче любого тела. Ведь вспомните, если идти босиком по дощатому полу, а потом наступить на каменную ступень лестницы (или металлическую) , то кажется, что дерево "теплее" камня или металла, хотя в помещении температура одинаковая. Просто разные материалы имеют разную теплоотдачу.
А про свинец так: Подумайте, почему растения зимой можно укрыть от промерзания с помощью снежного сугроба?))

В словах учительницы есть смысл.
Скорость остывания конечно, пропорциональна разности температур, НО:
если воздух окружающей среды горячий, то остывать предмет будет до более высокой температуры (ему требуется в этом случае отдать МЕНЬШЕ энергии) .
Не удивительно, что и времени на это может потребоваться меньше.
Конкретные значения скоростей зависят от условий (теплопроводность, теплоемкость) .
Короче, вожможны два исхода: тот, о котором сказала учительница, и другой, который знаете вы.

PS:
потери на излучение пропорциональны 4й степени абсолютной температуры тела. Никаких разностей.

Знаю (из школы) , что горячая вода на морозе замерзнет быстрее, чем холодная. Не помню из-за чего, но что то связанное со скоростью охлаждения. Типа горячая вода начинает охлаждаться быстрее чем холодная и скорость реакции не падает до полного замерзания.