Не представляю, как современный школьник докажет, что Земля - шар, и впридачу, что она вращается вокруг Солнца

Ну если современный школьник дурнее древнего грека (в чём всё чаще и чаще приходится убеждаться... ) - то никак.
Но вообще-то задолго до того, как появилась возможность лазать в гугл, смотреть на Венеру в подозрительную трубку и общаться в реальном времени с Австралией, люди уже не только знали, что Земля - шар, но даже умудрились в погрешностью всего 1% измерить окружность Земли. Эрастофен сделал это достаточно просто - измерил длину тени в Александрии в полдень в тот же день, когда в Фивах (расположенных на том же меридиане) солнце стояло ровно в зените - его можно было наблюдать со дна глубоких колодцев. А расстояние от Фив до Александрии было известно с приличной точностью - это был популярный торговый путь. И имея такие данные, любой грамотный школьник (тут достаточно знания геометрии, а не географии) может легко сделать вывод, что Земля не плоская, и вычислить её размер.
Ну а ежели хоть раз в жизни посмотреть на Луну во время лунного затмения, то к такому же выводу можно приёти и без утомительных измерений...

интересно, а что мешает вам вспомнить уроки природоведения? (Я уж не говорю астрономии) .

Чем современный школьник тут отличается от школьника 50-х или 19-го века?

Те же самые доказательства - посмотрите, как судно пропадает за горизонтом (сначала - низ, потом верх) , посмотрите, как меняется высота звезд (например, полярной звезды) , если ехать с севера на юг. Невредно вспомнить и древних - если не ошибаюсь, еще в древности была выдана простая мысль: лунное затмение - тень от Земли на Луне. Она всегда имеет форму круга - а значит Земля шар, только шар дает всегда круглую тень.

Ну а современные школьники могут и фотку Земли из космоса надыбать в интернете.

Это из серии: как доказать, что ДНК это полимер, электрон - заряженная частица и вращается вокруг ядра, а в яичнике женщины формируются яйцеклетки. Никак, что-то должно принимать на веру. Если не верить, что космонавты летают вокруг Земли, были на Луне, автоматы давно ходят по Марсу и даже садились на астероиды, остаётся только верить в Бога. Учитель объясняет и доказывает линией горизонта, снимками и видео с Луны и орбиты Земли, Теллурий демонстрирует...

В случае плоской Земли невозможен горизонт.
Фазы Венеры, которые можно наблюдать в подзорную трубу, не опровергают того, что Солнце вращается вокруг Земли, но заставляют в этом усомниться.

Это легко проверяется с помощью аськи.
Спросите у любого американца, светит ли у него сейчас солнце и как высоко.
Потом - австралийца, китайца и т. п.
Если спрашивать несколько раз в течение суток, всё станет очевидно :)

А доказательства ему знать и не нужно. Он получает готовые знания. "Магеллан обогнул земной шар". "Спутники летают вокруг земного шара". Важно, чтобы он знал, что Земля - шар. А доказательства - дело специалистов. Ему надо уметь только пользоваться результатами.

фактами из гугла

никак

А зачем изобретать велосипед и доказывать то, что является истинной?