Вопрос к химикам.

Чтобы понять почему на каждом подуровне свое количество орбиталей (или квантовых ячеек) надо обратиться к учебникам по общей химии для ВУЗов. Число орбиталей определяет магнитное квантовое число, которе описывает ориентацию электрона относительно внешнего магнитного поля. Сколько способов ориентации, столько и квантовых ячеек. Чтобы было проще - запомните. Можно провести аналогию с числом комнат в квартире (на подуровне) , где обитают электроны.
s - 1, p - 3, d - 5, f - 7. У d и f просто хоромы получаются! Правда, в действительности они очень напоминают коммунальную квартиру старого типа - комнат много, ни и жильцов хоть отбавляй (в каждой комнате по 2).

Во-первых, формулировка "на втором уровне три орбитали, на третьем пять, а на четвёртом семь" не совсем точна. На втором уровне - 4 орбитали, на третьем - 14, на четвертом - 28, на пятом - 28, на шестом - 28. То о чем Вы говорите - орбитали на ПОДуровнях каждого электронного уровня. Так, на втором уровне (в отличие от первого) кроме одной s-opбитали появляются еще 3р-орб. , на третьем уровне, кроме одной s и трех p появляются 5 d-орб. , на четвертом присутствуют одна s-, три p-, пять d-, и семь f-орбиталей. Они последовательно запоняются электронами согласно принципу Паули и правилу наименьшей энергии.
Что касается "почему" - действительно объяснить это достаточно трудно. Электронные орбитали - это МОДЕЛЬ состояния электронов, основанная на достаточно сложных квантово-механических расчетах. Это надо просто запомнить и понять основные правила написания электронных формул атомов.