Как быстрее нагреть воду - вскипятить часть воды и разбавить, или всю воду нагреть?

Есть дваварианта: 1 идеальные условия, 2 реальные условия
В идеальных уловиях, если считать, что теплообмена нагреваемой жидкости с окружающей средой не происходит, совершенно безразлично - нагревать весь объем или нагревать часть жидкости до более высокой температуры, а потом смешивать. Это если не кипятить. На доведение до кипения будет затрачена лишняя энергия, а следовательно - время.
В реальных условиях необходимо учитывать потери тепла при нагревании. Здесь существенными являются два момента. С одной стороны при нагревании до бОльшей температуры интенсивность теплообмена повышается и теплопотери (а следовательно и время нагревания) будут больше. С другой стороны на величину теплопотерь влияет площадь контакта, а при нагревании меньшего объема площадь контакта с окружающей средой будет меньше. В результате однозначно ответить на ваш вопрос не получится. Нужны конкретные условия, а именно - начальная и конечная температура воды, доля нагреваемой части, форма сосуда (а точнее как будет изменяться площадь контакта с коружающей средой при уменьшеии/увеличении объема нагреваемой жидкости) . К примеру, можно подобрать конструкцию сосуда и мощность нагревательного элемента таким образом, что нагреть весь объем жидкости до требуемой температуры вам вообще не удастся (начиная с какого-то времени теплопотери будут равны притоку тепла) , а вот нагреть часть до более высокой температуры получится (но это опять таки зависит от конкрентых значений температур.

Нагреть всю. Чем выше температура нагрева, тем больше скорость обмена с окружающей средой. Вода нагретая до температуры кипения отдаёт тепло быстрее, чем нагретая, скажем, до 60 градусов.

Вы правы. Во время нагрева вода, чем выше ее температура, тем больше будет отдавать тепла за счет теплообмена с окружающей средой (нагрев окружающего воздуха, тепловое излучение...) . Эти потери будут меньше, если не доводить дело до высокой температуры, а для этого надо нагревать всю воду сразу.

исходя из физики и формул - одинаково.
при кипечении больше энергии потратится на испарение воды

вопрос кажется простым, но на самом деле чтобы правильно на него ответить, нужно произвести серьезное исследование и более точно задать дополнительные условия. дело в том, что скорость нагрева зависит:
1) от мощности источника тепла
2) от начальной и конечной температур подогреваемой среды (при повышении температуры нагреваемой воды скорость нагрева уменьшается, т. к. теплопередача пропорциональна разности температур, а по мере нагревания воды эта разность будет уменьшаться)
3) от теплоемкости воды, которая в общем случае также зависит от температуры воды (хоть и незначительно)
4) от потерь во время нагрева - кпд системы источник тепла-нагреваемый объект (при возрастании объема воды относительные потери в окружающую среду будут до определенного предела уменьшаться, т. к. относительные потери (приведенные к 1 кг нагреваемого тела) пропорциональны площади поверхности нагреваемого тела и обратно пропорциональны объему этого тела, а при увеличении размеров площадь поверхности увеличиваеся квадратично, а объем - кубически, т. е. соотношение площадь/объем уменьшается. но это не бесконечно - настанет момент, когда величина потерь сравняется с мощьностью источника и нагрев прекратится.
5) и тд и тп
таким образом правильно ответить на вопрос легче только в каком-нибудь конкретном случае, при этом проще произвести эксперимент, чем сделать расчет.

Самый быстрый способ нагреть воду-это нагреть лёд. Из-за меньшей плотности лёд нагревается быстрее жидкой воды.