Научно-математический вопрос

Пример пространства с указанными свойствами

пусть X - пересечениеклассического канторова множества и интервала (0;1), т. е. множество чисел из (0;1) в троичном разложении которых есть только нули и двойки. Расстояние между точками - модуль разности d(x,y)=|x-y|.

Шары в пространстве X бывают двух типов:
1) с диаметром равным удвоенному радиусу
2) с диаметром меньшим удвоенного радиуса
(диаметр множества - сюпремум попарных растояний между точками множества) .

1) Пусть диаметр шара B(x,r) равен 2r. Это означает, что шар (напомню, что X - подмножество вещественной прямой) является пересечнием интервала (a;b), лежащего в (0;1), и множества Х, причем x=(a+b)/2. Легко видеть, что либо a, либо b не принадлежит X. Действительно, канторово множество обладает тем свойством, что у отрезков нет середины (это следует из вида троичного разложения точек Х ). Пусть для определенности а не принадлежит Х. Расстояние e=d(a,X) положительно (замыкание Х на прямой это X, дополненное точками 0 и 1). Исходный шар B(x,r) содержит шар B(x-e/2,r+e/2) большего радиуса.

2) Пусть диаметр шара B(x,r) меньше 2r. Это означает, что шар является пересечнием либо
а) интервала (0;b), лежащего в (0;1), и множества Х, либо
б) интервала (a;1), лежащего в (0;1), и множества Х
(ясно, что b меньше 2r и 1-а меньше 2r).
В случае а) шар B(x,r) содержит шар B(x/2,r+x/2)
В случае б) шар B(x,r) содержит шар B((1+x)/2,(1-x)/2+r)

задача не для пту, но во втором семестре на первом курсе мы такие решали
автор, а тебе-то зачем такая задача? мотивировки на стол
непонятно

А можно ли для топологического пространства, не накладывая на него дополнительных требований, говорить о радиусе и тем более об отношении радиусов? Ведь чтоб сказать, что R1 < R, надо как минимум 1) определить, что есть радиус, и 2) определить, что есть "меньше". А так же 3) определить, что есть "внутри". То есть всё это определить (кто б сомневался) можно, но тогда пространство становится не просто топологическим, а по крайней мере метрическим (на нём задаётся некоторая метрика, или как оно у вас называется...).

Хороший, однако, вопрос.
Давайте рассуждать. Метрическое пространство определяется функцией расстояния d(x,y), которая удовлетворяет 3 аксиомам:
1) d(x,x)=0
2) d(x,y)=d(у, x)
3) d(x,у) <d(x,z)+d(z,у) (неравенство треугольника)

Если центры сфер (окружностей) совпадают, интуитивно понятно, что сфера меньшего радиуса лежит внутри сферы большего радиуса. Очевидно, что поставленному условию могут удовлетворять только неконцентрические сферы.

Рассмотрим, к примеру, следующую метрику (называемую парижской железнодорожной) . Из любого города в окрестности Парижа радиуса r можно добраться в город из этой окрестности по прямой. Если нужно доехать из города вне этой зоны в другой, то единственная дорога лежит через Париж. Получается, следующая формула:
d(x,y)=R(x,y), если d(x,0)<=r и d(y,0)<=r
d(x,y)=R(x,0)+R(0,y), в противном случае.
0 – центр, разумеется Париж, а R(x,y) растояние в привычном понимании.

Если на минуточку предположить что Франция имеет форму круга радиуса R0 (в привычной метрике) . Круг радиуса R0 из центра, совпадает с кругом радиуса 2*R0 (с центром на самой дальней окраине) .
Скорее всего, в подобных метриках можно доказать и более общее утверждение. Но я, не берусь.

Все гораздо проще. См. коммент