что вычисляют с помощью криволинейного интеграла 2-го рода

Определение
Пусть кривая C описывается векторной функцией, где переменная s представляет собой длину дуги кривой (рисунок 1).

Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C и обозначается как

Криволинейный интеграл существует, если функция F непрерывна на кривой C.
Рис. 1Рис. 2

Свойства криволинейного интеграла первого рода
Криволинейный интеграл I рода обладает следующими свойствами:
Интеграл не зависит от ориентации кривой;

Пусть кривая C1 начинается в точке A и заканчивается в точке B, а кривая C2 начинается в точке B и заканчивается в точке D (рисунок 2). Тогда их объединением будет называться кривая C1 ∪ C2, которая проходит от A к B вдоль кривой C1 и затем от B к D вдоль кривой C2. Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение

Если гладкая кривая C задана параметрически соотношением и скалярная функция F непрерывна на кривой C, то

Если C является гладкой кривой в плоскости Oxy, заданной уравнением, то

Если гладкая кривая C в плоскости Oxy определена уравнением, то

В полярных координатах интеграл выражается формулой

где кривая C задана в полярных координатах функцией .
Пример 1

Найти интеграл вдоль отрезка прямой y = x от начала координат до точки (2,2) (рисунок 3).

Решение.

Рис. 3Рис. 4

Пример 2

Вычислить интеграл, где C − дуга окружности .

Решение.
Запишем дифференциал дуги кривой:

Тогда, применяя формулу

в плоскости Oxy, получаем

Пример 3

Вычислить интеграл, где C − кривая, заданная уравнением .

Решение.
Используем формулу

Здесь

Следовательно,

Пример 4

Вычислить интеграл, где C является отрезком прямой от точки O(0,0) до A(1,2) (рисунок 4 выше) .

Решение.
Найдем сначала уравнение отрезка OA.

Применяя формулу

находим искомый криволинейный интеграл.

Пример 5

Вычислить интеграл, где кривая C задана параметрически в виде .

Решение.
Применяя формулу

можно записать

Пример 6

Вычислить криволинейный интеграл, где кривая C − отрезок прямой от точки (0,−2) до (4,0) (рисунок 5).

Решение.
Найдем уравнение отрезка AB.

По формуле

находим данный интеграл

Рис. 5Рис. 6

Пример 7

Найти криволинейный интеграл, где кривая C является дугой эллипса, лежащей в первом квадранте (рисунок 6).

Решение.
Запишем уравнение эллипса в параметрической форме.

Диапазон изменений t для первого квадранта равен . Следовательно, по формуле

заданный интеграл преобразуется следующим образом

Сделаем замену. Положим . Тогда

Уточним пределы интегрирования. Если t = 0, то u = 0, а при получаем u = a. В результате интеграл становится равным

Для вычисления полученного интеграла удобно сделать еще одну замену переменной.

Если u = 0, то, и соответственно, если u = a, то . Таким образом,

Криволинейный интеграл второго рода - циркуляция по контуру, или работа.
При смене направления обхода на обратное получится то-же значение, но с обратным знаком.

Мне кажется, что с помощью интеграла вычисляется площадь фигуры, ограниченной какой-либо кривой.