Как доказать непериодичность десятичной дроби корень из двух?

Лемма. Периодическая дробь 0,(b1b2 ...bi) равна b1b2 ...bi / 99 ...9, т. е. её можно представить в виде n/m (целое делить на целое) .
Док-во. Обозначим нашу дробь через p, тогда 100 ...0 * p = b1b2 ...bi,(b1b2 ...bi) = b1b2 ...bi + p
Т. е. (100 ...0 - 1) * p = b1b2 ...bi
Откуда p = b1b2 ...bi / 99 ...9.
Пример: 0,729 = 729 / 999

Теорема 1. Периодическую десятичную дробь всегда можно представить в виде n/m, и наоборот, выражение n/m всегда можно представить в виде периодической десятичной дроби.
Доказательство.
а) Пусть дана периодич. десятич. дробь p = C,a1a2 ...aj(b1b2...bi) (C - целая часть, a1a2 ...aj - вступление, b1b2 ...bi - период) .
Тогда p = 100 ...0 * p / 100 ...0 = Ca1a2 ...aj,(b1b2 ...bi) / 100 ...0 = (Ca1a2 ...aj + (b1b2 ...bi / 99 ...9)) / 100 ...0 = (Ca1a2 ...aj * 99 ...9 + b1b2 ...bi) / 99 ...900 ...0. Пример: 27,123(45) = (27123*99 + 45) / 99000 = 2685222 / 99000
б) Пусть дано выражение вида n/m. Чтобы получить из него десятичную дробь, будем делить столбиком (частные будут давать цифры) . Для получения очередной цифры мы предыдущий остаток умножаем на 10 и снова делим на m. Поскольку возможных остатков деления на m не более m (от 0 до m-1), рано или поздно один из остатков повторится, тогда повторится и следующий остаток и т. д. , следовательно будут повторяться и цифры в десятичной дроби, т. е. она будет периодической с периодом не более m.

Теорема 2. Корень из 2 невозможно представить в виде n/m.
Доказательство (от обратного) . Пусть корень (2) = n/m, допустим, что дробь несократимая (если сократимая, надо предварительно сократить) . Тогда 2 = n^2 / m^2, 2m^2 = n^2. Таким образом, n^2 в любом случае чётное, а значит, n также чётное. Более того, раз n чётное, то n^2 делится на 4. Тогда и 2m^2 должно делиться на 4, а значит, m^2 делится на 2, и m получается чётным. Но мы изначально сказали, что дробь n/m несократимая, а тут оба чётные и дробь можно сократить на 2. Противоречие.

Автоматически по теореме 1 это означает, что корень из 2 нельзя представить в виде периодической десятичной дроби.

периодическую дробь можно выразить через обыкновенную вида m/n, где m и n - целые.
А корень из двух не может быть выражен через обыкновенную дробь (Пифагор доказал)

корень из двух это не десятичная дробь а иррациональное число а как доказать хз но есть просто свойство что все дроби ( челое делить на целое) являются периодичными а иррациональные корни нет.