Как объяснить, почему есть бесконечная десятичная дробь?

Запись десятичной дроби, это сокращённая запись суммы членов геометрической прогрессии, например:
1/3=0,333333...=3∙10⁻¹ + 3∙10⁻² + 3∙10⁻³ +..
А эта бесконечная сумма вычисляется по простой формуле: а₁/(1-q)=0,3/(1-0,1)=1/3

Ты путаешь парочку вещей:

>Как объяснить, почему есть бесконечная десятичная дробь?
Объясняется это тем, что существует континуум чисел, и насколько бы точно ты ни пытался выразить какое-нибудь иррациональное число, его всегда можно выразить еще точнее.

>Эта дробь несократима в виде обычной дроби
А вот тут речь идет уже о рациональных числах и периодических дробях, а не о произвольных, как в вопросе. И насчет этого - смотри объяснение грека сверху.

На самом деле все десятичные дроби бесконечные, просто у некоторых период - это ноль. Такое бывает, когда знаменатель является произведением двоек и пятёрок в различных степенях - т. е., простых делителей основания системы счисления (десяти).
1/2 = 0,5(0)
1/5 = 0,2(0)
1/25 = 0,04(0)

Объяснить легко - по определению десятичных дробей и иррациональных чисел. Просто десятичные дроби не позволяют делать компактную запись иррационального числа. Это для математических понятий и выводов не имеет ровно никакого значения. Удобство и привычка нашего восприятия не в счёт.

Потому что это выдумка. Таких чисел нет в природе.

Потому что не всё делится на десятые части, а цифр у нас десять. Это означает, что мы пользуемся системой счисления с основанием 10.
1/10 это просто 0,1, а вот 1/11 это уже иррациональная дробь. Сколько не бери десятых частей и десятых частей от десятых частей, никогда в точное значение не попадёшь.
А вот в системе счисления с основанием 11, это было бы очень просто.
Если наши цифры это 0, Ц, У, К, Е, Н, Г, Ш, Щ, З, Х,
То 1/10 это 0,У, а 1/11 это 0,Ц.
В науке и технике применяются разные системы счисления. Например двоичная. В ней вообще нет дроби.
Но некоторые числа невозможно выразить а виде точного значения ни в какой системе. Например, число Пи.

лучше-про число ПИ, или про экспоненту

Она есть по [счетной] аксиме выбора, например.
Только я не попял, причем тут какое-то деление?

Если десятичная дробь конечная - это значит что можно конечным числом умножений на 10 достичь нулевого остатка.
Если нулевого остатка конечным числом умножений на 10 достичь нельзя, получается бесконечная десятичная дробь, логично?

подели 1 на 3 и запиши в десятичной форме без округления. Вот и получилось бесконечная дробь.

Есть такое понятие, как периодические дроби