Немогу понять какой смысл в дифференцирование как решать я понял но для чего нужна произволная

Ох его много где применяют. Даже у нас, автоматчиков, в ПИД-регуляторах дифференциальное звено затесалось.

Дифференцированием можно оценить скорость изменения функции.
Самый простейший пример - ускорение. Ясен пень, это изменение скорости. И если скорость меняется линейно (движение равноускоренное) то и без производных поделил v/t получил ускорение. Скажем для v=2t
за 2 сек скорость линейно упала с 10 до 6. a= (10-6)/2 = 2 или через производную a=dv/dt = 2.

Вот только скорость (и любая другая функция) реально линейно почти никогда не меняются. Скажем если скорость задаётся v1=x^2+2x+3 Или даже v2=sqr(x)+sin(x^2), то тут уже ускорение без производной не посчитаешь.
a=dv1/dt = 2x+2; a = dv2/dt = 1/(2sqr(x))+ 2x*cos(x^2)

Да. dx/dt это производная функции x(t) по переменной t. Если переменная одна то можно записать x'(t)

да на каждом шагу без нее не обойтись!

Даже картинка в сети или звук в мобильнике сжаты с помощью понятий производной и интеграла.

Вся физика если по-взрослому, формулируется именно через диф. уравнения.

Прямо с первого количественного закона: 2-го закона Ньютона.
Он по грамотному выглядит как F=dP/dt, где P - импульс. Кстати, масса тут тоже может быть переменной, как, например, при полете ракеты.

Все, что в школе проходили про равноускоренное движение - все о производных. И странная формула пути, которую выводили, показывая график - по сути интеграл.

И более того - в обыденных инженерных вычислениях без производной никуда.

Как ты думаешь, каким образом считаются синусы или экспоненты в компе? Разложением в ряды. То есть - с помощью производной.

Как найти корень? Быстрее всего - методом касательных, то есть - через производную. .
...

Первая производная от координаты- скорость, вторая-ускорение.
Производная от заряда- сила тока

В химических реакциях, например, если установлен закон по которому определенное кол-во вещества превращаются в другое за определенный промежуток времени, то производная будет выражать среднюю скорость этого процесса.