Почему, чем быстрее передвигаешься, тем медленнее течёт время?

Не совсем так.. .
Чем быстрее вы перемещаетесь, тем медленее течёт ВАШЕ время дл СТОРОННЕГО наблюдателя, относительно которого ваша скорость достаточно высока. Лично для вас время как текло - так и течёт, потому как относительного самого себя любой объект, ясное дело, покоится, и тут просто не возникает никаких проблем.
А вот почему ход ваших часов замедляется относительно "неподвижного" наблюдателя - как раз и объясняет спецальная теория относительности. Физически это всё выглядит как не сильно сложные формулв, а вот ФИЛОСОФСКИ, тысызыть, это объясняется тем, что пространство, время и движение не являются независимыми вещами. Пространство и время СВЯЗАНЫ и не являются АБСОЛЮТНЫМИ инвариантами. Не существует ни абсолютного пространства (имееся в виду - масштаба измерения пространственных координат) , ни абсолютного, одинакового для всех времени (имеется в виду - масштаба временной шкалы) . И то, какой именно масштаб расстояний и времени оказывается "действующим" для объекта, зависит не от него самого, но от того, как он движется по отношению к наблюдателю. Это просто фундаментальное свойство природы.

Потому что скорость света инвариантна во всех инерциальных системах отсчета.

Это смотря как вы лучше воспринимаете. Люди обычно лучше воспринимают "человеческие", популярные объяснения, но так не всё объяснишь (пресловутая квантовая физика) , кроме того, есть люди, которым проще воспринимать сразу в математическом виде.. .
Тогда: два постулата. 1) Постоянство скорости света, 2) Пространство-время - Минковского, не Евклидово.
Я лично уже как-то привык, формулы всё объясняют и непротиворечивы, и пофиг, что в голове не укладывается и сложно представить.

Ни фига подобного.
С какой бы вы скоростью ни двигались, время у вас течёт одинаково.
Теория относительности объясняет как раз это.

Теория относительности это объясняет.

Время течет медленнее относительно неподвижного наблюдателя. В СО связанной с движущимся объектом ход времени не меняется. См. формулы Лоренца.

Ну и кто тебе такое сказал? Друган чтоли до скорости света на жигуле разогнался?
Ну а серьезно, теория всего лишь теория до тех пор, пока не доказана на практике. Стоит подумать, какой процент, того что мы знаем об окружающем мире - правда, или ИСТИНА. Прости за философию, но так как я со световой скоростью перемещатся не умею, пока так.