Имеют ли мелкие объекты на Земле свою гравитацию?

Да. . все предметы создают гравитационную силу, которая убывает обратно квадрату расстояния. Другое дело, что для немассивных предметов эта величина очень мала. Поэтому земля и притягивает к себе все .

Почитайте ru.wikipedia.org/wiki/Гравитация
F=G*M1*M2/(R^2)

Гравитация — слабейшее взаимодействие. Однако, поскольку оно действует на любых расстояниях, и все массы положительны, это, тем не менее, очень важная сила во Вселенной. В частности, электромагнитное взаимодействие между телами на космических масштабах мало, поскольку полный электрический заряд этих тел равен нулю (вещество в целом электрически нейтрально) .
Также гравитация, в отличие от других взаимодействий, универсальна в действии на всю материю и энергию. Не обнаружены объекты, у которых вообще отсутствовало бы гравитационное взаимодействие.
Из-за глобального характера гравитация ответственна и за такие крупномасштабные эффекты, как структура галактик, черные дыры и расширение Вселенной, и за элементарные астрономические явления — орбиты планет, и за простое притяжение к поверхности Земли и падения тел.

"Получается, что вся вселенная, в любой ее точке, испытывает гравитационное влияние от каждой частицы имеющей массу? И если я передвигаю объект имеющий хоть какую либо массу, то вселенная сразу же (со скоростью света) должна ощутить это изменении (пусть и на ничтожную величину) ?"
в принципе да, но эти величины очень малы. . очень-очень малы - можете сделать оценку.

ps: сейчас пытаются в эксперименте обнаружить гравитационные волны от далеких сверхновых.

Неужели гравитационное действие не "квантуется"? Ведь должен же быть наименьший "квант" действия...

Да! Я Вам больше скажу, если Вы сами имеете хоть какую либо массу, то уже этим оказываете гравитационное воздействие на окружающие предметы. Но это воздействие исчезающе мало уже в Вашей комнате, что уже говорить обо всей Вселенной!
Однако эта сила управляет мирами, но для этого надо иметь соответствующую массу.

Вот- вот.. . этот квант действия меня тоже смущает...

Именно так.

Гравитационная постоянная (коэффициент пропорционалности в законе всемирного тяготения; кстати, не задумывались, с чего это оно ВСЕМИРНОЕ? ) была определена Генри Кавендишем по притяжению небольшого шарика на крутильных весах к большому свинцовому шару.
И именно после этого ему удалось посчитать массу (плотность) Земли.

P.S. Настораживает вопрос: "зависит ли оно от массы? "
a=GM/r² - гравитационное ускорение, сообщаемое телу некоторой массой, зависит от величины этой массы и расстояния между телами.
При увеличении расстояния в 10 раз ускорение уменьшается в 100 раз. Само расстояние от массы не зависит.

Вы школу сожгли до пятого класса?

Любой объект, имеющий массу, гравитационно воздействует на иные объекты.
Расстояние - бесконечно. Только "затухание" сказывается. Поскольку с самими силами гравитации еще не все понятно (школьный и институтский курс с тезой об особом виде взаимодействия не очень-то объясняет) - конкретнее сказать сложно. Масса же объекта влияет на "силу" (беру в кавычки, чтобы не путать с гостированым понятием) его воздействия.

этот факт подтвержден опытом с крутильными весами, очень остроумный опыт который подтвердил что тела притягивают друг друга

Да. но эта величина на столько ничтожна, что ею вполне можно пренебречь. А все изменения, которые она сможет привнести скажутся только на квантовом уровне. Или вообще будут действовать на размерах менше Планковских масштабов.