Почему спин электрона равен именно 1/2?

А вам никто не объяснит почему это так. Вам будут твердить, что такова, мол, природа вещей. Официально неизвестно почему у электрона есть магнитный момент, вызванный механическим движением, то есть спин. Пытались объяснить это вращением электрона вокруг ядра, но не получилось. Но он у него есть. И равен 1/2. Это все, что наука пока знает. Природа электрона пока не разгадана. Кстати неизвестно так же и почему Земля делает один оборот за сутки. Но она его делает. Это все, что наука пока знает. Несомненно тут все упирается в гравитацию. А природа гравитации пока не разгадана. Да вы спросите у ученых чего-нибудь полегче, да попроще. Зачем лезть в дебри где у них конь не валялся!!

Уравнения Дирака для фермионов имеют очень интересную симметрию. Они переходят сами в себя при поворотах пространства на 180 градусов (а значит, что и на 360 градусов тоже) .
Уравнения для бозонов такой симметрии не имеет. Уравнения для бозонов инвариантны относительно поворотов пространства на все 360 градусов, как для обычных макроскопических классических объектов. Все классические уравнения движения в общем случае переходят сами в себя при поворотах на 360 градусов. При поворотах на 180 градусов классические уравнения движения не переходят сами в себя, например, классические уравнения вращения никак не перейдут сами в себя при повороте на 180 градусов.
Поэтому у всех бозонов формально может быть только целочисленное значение квантов момента движения (0, 1, 2, 3, ..). А у фермионов формально получается, что число квантов вращения может быть полуцелым (0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, ..).
При этом уравнения квантовой механики вводят ограничения сверху на ненулевые значения момента вращения элементарных частиц. То есть невозможно очень сильно раскрутить элементарную частицу вокруг своей оси. Есть верхняя граница, выше которой частица не будет "глотать" новые кванты вращения. Обычно эта граница соответствует значению 1.
Например, у фотона (а фотон это бозон) верхняя граница равна 1. Значит фотон может иметь два значения спина: 0 и 1. А у электрона (а электрон это фермион) верхняя граница тоже 1. Но сначала реализуется энергетически меньшее состояние со спином 1/2. А перейти в состояние со спином 1 электрон уже не может, так как для этого он должен поглотить половину кванта, но кванты не делятся. Кванты это минимальная порция. Половину кванта поглотить невозможно. А если электрон поглотит целый квант вращения, то его спин станет уже 3/2, что невозможно из-за того, что 3/2 больше единицы.
Вот поэтому спин электрона равен именно 1/2.

Спин — собственный момент импульса элементарных частиц, имеющий квантовую природу и не связанный с перемещением частицы как целого.
Таков закон природы!

Блин, такой вот.

Целые спины имеют бозоны, полуцелые - фермионы.
Электрон относится к фермионам.

P.S. Почему Земля делает один оборот именно за сутки?

Читать, читать и еще раз читать :)

Предыдущий оратор явно не знает про уравнение Дирака для движения релятивистских частиц, которое, объединяя релятивистскую механику и механику квантовую, позволяет получить значение спина электрона, равное h'/2 или 1/2.
Это, кстати, еще и ответ на вопрос, каким образом СТО включается в квантовомеханические уравнения.
Демагогию разводит предыдущий оратор, не больше.
Да и про природу гравитации - есть довольно авторитетные теории и гипотезы, которые наглядно описывают природу. Та же ОТО есть макроскопическим описанием гравитации и объяснением ее природы.