Почему СПИНЫ бывают только +1/2 и -1/2, а не приобретают целочисленные значения, скажем, -1 или +1?

С чего вы это взяли? Спин может быть и 0, и 1/2, и 1, и 3/2, и 2. 1/2 он у электронов.

в физике нет вопроса "почему", она не занимается смыслом жизни. Она занимается только реальным миром - какой уж достался.

Спин фотона равен 1.
Спин ядра любого атома, в котором чётное число нуклонов (протоны + нейтроны) , тоже целый.

все известные частицы во вселенной можно разделить на две группы: частицы со спином 1\2, из которых состоит вещество во вселенной, и частицы со спином 0, 1 и 2, которые создают силы действующие между частицами вещества (фотоны, глюоны промежуточные бозоны и гравитоны) . в 1928г поль дирак создал теорию, в которой математически объяснялось, почему спин электрона и других частиц вещества имеет спин 1\2. посмотри его работы.

"..Следствием этого является тот факт, что спин (и его проекции на какую-либо ось) может принимать не только целые, но и полуцелые значения. "

Прежде чем интересоваться отчего у электрона тот или иной СПИН, хорошо бы определиться, что такое СПИН вообще. Не для общего образования, а так, для перехода мозга из невменяемого состояния во вменяемое, сознательное состояние. Ибо учоные ( можно ли их называть физиками?) , как правило, не понимают, о чем толкуют, утверждая, что "спин -это собственный момент количества движения частицы". Какой частицы? Электрона? Но ведь электрон сегодня - это то шарик, то облако, то волна, то исчезающий фантом; "фигаро здесь -фигаро там", которому отказано и в траектории и во вращении; это некая размазанная по атому область плотности вероятности. . И как такая туманная фиговина может обладать каким-либо моментом вращения? А фотон, он же квант, со спином равным 1, -это же кусок волны! Где и что тут вращается?
Физики-математики давно сошли ума: , пытаясь Природе навязать свою придуманную математику и придать ей силу закона. Они видят в природе не то, что она есть, а то, что они ХОТЯТ видеть! . Конечно же спин измеряют экспериментаторы! Понимали бы они только, что они измеряют?!..

Спин это собственный момент движения частицы а спиновое квантовое число характеризует его численное значение (кратное постоянной Планка h) и направление по отношению к внешнему магнитному полю.. .
Направление оси вращения по вектору Н магнитного поля даёт знак (+) а противоположное (-)
Можно пердположить что если h Планка введена для связи энергии с частотой её размерность (Дж/сек) то кратность спина этой постоянной связывает собственную частоту вращения электрона к энергии этого вращения.. .
Вот видимо потому и получается что у электрона и у всех остальных фермионов с их массами и внутренними характеристиками движения спин равен 1\2h либо со знаком (+) либо с (-)