1) существует ли многочлен у каторого один из коэфициентов равен 1/2011, а значения во всех целых точках - целые?2) из м

1)
задача элементарная и ответ - утвердительный. михаил не обратил внимания на то что в условии многочлен "целится" только в целых точках а jam забыл что называется коэффициентом в многочлене (1/2011 + 2010/2011=1 - коэффициент при степени 0. разбивать его на слагаемые и называть 1/2011 из этого разбиения коэффициентом нельзя)

небольшой экскурс:
сумма нарутальных чисел 1..n = n(n+1)/2. хоть деление и присутствует но целость очевидна: либо n либо n+1 делится на 2.
сумма квадратов 1..n^2 = n(n+1)(2n+1)/6. здесь уже деление на 6 но по тому же принципу леко дозакать что среди трех чисел в числителе всегда найдутся множители 2 и 3.

теперь к вашему многочлену. строим его очевидным способом
fx = (x+1)(x+2)...(x+2011)/2011
числа x+1,x+2,...x+2011 покрывают без пропусков блок из 2011 целых чисел подряд. поэтому среди них при любом целом x всегда найдется одно которое делится на 2011. значит при любом целом x значение fx - целое

если раскрыть скобки получим: fx = 1/2011*x^2011 + .-вот вам и "один из коэфициентов равен 1/2011"

------------
небольшой прокол: все выше верно для НАТУРАЛЬНЫХ чисел. для целых прокол появляется когда x+1...x+2011 покрывают участок содержащий ноль (например -1005 ...1005 - очевидно в этом наборе деления на 2011 нет )

чтобы было верным для целых многочлен должен быть "длиннее" в 2 раза (ну или еще длиннее - главное чтоб больше минимума) :
fx = (x+1)(x+2)...(x+4023)/2011 = 1/2011 x^4023 +..

2)
по второму все промолчали и я промолчу :p

если у многочлена значения вообще во всех точках целые - он константа.

например f(x)=1/2011 + 2010/2011 при этом он действительно будет константой