Очень важно узнать при каких значениях катетов прям. треугольника значение гипотенузы будет целым числом?

И не Евклид, а где-то ещё раньше (кажется, это у В. Смилга "В погоне за красотой").
У меня к Пифагору вопросов нет (я не из Одессы) .
Античные греки подумали об этом же несколько раньше. И нашли ответ:
a=n^2-m^2;
b=2nm
Отсюда a^2+b^2=(n^2+m^2)^2
Здесь n> m - любые числа, в частности, целые.

Это называется "пифагорова тройка".

Не только 3, 4, 5, есть и другие тройки взаимно простых чисел:
(3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29), (12, 35, 37), (9, 40, 41), …
Ну и конечно, можно умножить все стороны на одно и тоже число, и получить бесконечные ряды троек.
А вообще ты права - целые тройки встречаются довольно редко, и поиск их всегда был увлекательной задачей.

Таких значений бесконечно много.
Берешь любое нечетное число х и вуаля:
Существует прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна точно числу х.

да нет обычное соотношение чисел.

Непонятно катеты обязаны быть целыми или нет?
Тут главный вопрос - ЗАЧЕМ? От этого зависит как удобней выводить. Если вам просто бесконечно растущую таблицу надо: катет1 катет2 гипотенуза, ну или до определённого предела значений - составляете алгоритм компутерный, например такой:
1. задаётся шаг дискретности, скажем одна десятая
2. задаётся начальное целочисленное значение гипотенузы
3. задаётся начальное значение одного катета, естессно оно должно быть меньше гипотенузы
4. вычисляется по пифагору значение другого катета и выводится в таблицу
5. сдвигается варьируемый катет на шаг дискретности и/или гипотенуза инкрементируется на единицу
6. шаги 4-5 повторяются до посинения, всё зависит от того, ЗАЧЕМ вам это надо

ну очевидно, что при значениях 3х и 4х