возьмём любых 2 числа и обозначим их a и b.
(что бы не писать уйму слов, давайте договоримся что mod - это операция определяющая остаток от деления, например 13 mod 5 = 3, 15 mod 5 = 0)
тогда
a mod 10 = c
b mod 10 = d
c и d произвольные числа, пока что нам ещё не известные, но мы можем сказать, что
(a - c) mod 10 = 0
(b - d) mod 10 = 0
((a-c) - (b-d))/10 = n, где n целое число
((a - b) - (d - c))/10 = n
Значит разница чисел (a - b) делится на 10 нацело в том и только том случае, если (d - c) также делится на 10. Но d и c не больше девяти, так как это максимальный остаток при делении на 10. Потому указанное условие принимает вид
d - c = 0
(a - b) делится на 10 если остатки от деления a и b на 10 равны. Но таких остатков может быть всего 10 (от 0 до 9), а значит даже если первые 10 чисел будут давать разные остатки при делении, то остаток от деления 11-ого обязательно совпадёт с одним из первых десяти.
ДОКАЗАНО!
Естественные науки
Дано 11 различных целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два числа, разность которых делится на 10.
Смотри ответ выше... РАЗЛИЧНЫХ цифр всего 10 (0-9). Нет какой-то одиннадцатой в десятичной системе.
Иван Боденко
71 593
Света Спиридонова
хм... а в двоичной и 2 :) значит если я переведу все числа (в том числе и 10) в двоичную систему, то что-то изменится?
мамои клянусь)))
Если речь идёт о десятичной системе счисления, тогда, да - 11 чисел и необходимо и достаточно - доказать наверное можно.., но лучше принять в качестве аксиомы..
Ирина Пинская
18 486
Александр Губин
это не аксиома и вполне доказуемо. И действительно не только для десятичной системы, а для любой в принципе (ведь остаток от деления на некое число не зависит от системы счисления). Разумеется число 10 в условии следует понимать как число, которому в десятичной системе соответствует запись "10"
Александр Кеслер
Задача не имеет ни малейшего отношения к системам счисления. Хотя использование десятичной системы позволяет задачу решить элементарно.
Если их разница равна 10, значит они заканчиваются на одну цифру. Из 11 чисел в любом случае найдется пара.
Александр Губин
не доказательство, а выражение одного тезиса через другой. тезис "в любом случае найдётся пара" са не доказан, а потому аргументом быть не может.
Похожие вопросы
- Какова вероятность того, что при бросании трёх игральных кубиков выпадут числа, сумма которых делится на 9?
- Здравствуйте! Доказать что из любых 5 целых чисел можно найти 3 сумма которых делится на 3 .
- Почему умножая некоторые числа в периоде на целое число, получаем целое число?
- Очень важно узнать при каких значениях катетов прям. треугольника значение гипотенузы будет целым числом?
- Ладно, предложите 80-значное число (не содержущее нулей) которое делиться на сумму своих цифр.
- математика срочно. сколько существует натуральных трехзначных чисел которые делятся только на одно из чисел 4 или 5
- В N-ичной системе счисления число ABCABC обязательно делится на 7. При каком наименьшем N это возможно?
- Докажите,что не существует целых чисел x и y, удовлетворяющих уравнению 15x*x - 7y*y = 9
- произведение двух последовательных целых чисел равно 156. найди эти числа
- Математика. Сколько целых чисел меньших 15? И какие?