Здравствуйте! Доказать что из любых 5 целых чисел можно найти 3 сумма которых делится на 3 .

Рассмотрите остатки от деления этих чисел на 3. Возможны два случая:
1) Найдутся три числа с одинаковым остатком. Тогда их сумма и будет делиться на 3.
2) С каждым остатком будет не более двух чисел. Тогда, если предположить, что всего два разных остатка, мы получим, что чисел было бы не более четырех. Это противоречие — их у нас 5. Значит, среди них присутствуют все три разных остатка от деления на 3. Сложив числа с остатками 0, 1 и 2, получим число, делящееся на 3.

А что тут доказывать? Все же видно. Целые числа могут быть только 3 видов 3*к, 3*к+1 или 3*к-1, где к - целое число. Если среди 5 три или более вида 3*к - то сумма любых трех из них - искомое. Если среди 5 только 2 вида 3*к, то оставшиеся 3 могут быть: все три вида 3*к+1 или 3*к-1. Тогда сложением этих трех и получаем искомое. Если 2 вида 3*к+1, а одно вида 3*к - 1 или наоборот, то складываем одно из первой двойки, одно типа 3*к+1 и одно вида 3*к-1 - тоже делится на 3. Если только одно вида 3*к - то аналогично предыдущему доказательству. Ведь там использовалось только одно число вида 3*к. И если среди пятерки нет чисел вида 3*к. Значит, как минимум 3 из оставшихся будут 3*к+1 или 3*к -1. Все случаи перебрали. Других быть не может.