В банке неограниченное число монет по 3 и 5 руб. Докажите, что из этих монет можно составить любое число, начиная с 8.

Возьмём любое число. Попробуем его набрать монетами по 3. Существует 3 возможных исхода операции:
1. Мы смогли это сделать (ура)
2. Мы не смогли этого сделать, у нас получилось на 1 рубль больше
3. Мы не смогли этого сделать, у нас получилось на 2 рубля больше

Для второго варианта мы всегда можем заменить 2 тройки на одну пятёрку, что уменьшит общую сумму на 1, и позволит набрать нужное число. Первое число, которое можно так построить - 5 (набираем число 6 тройками и заменяем 2 тройки на 5)

Для третьего варианта мы можем сделать то же что и для второго, только заменить не 2 тройки на пятёрку, а 4 тройки на 2 пятёрки, что уменьшит сумму на 2. Первое число, которое можно так построить - 10 (набираем тройками 12 и заменяем на 2 пятёрки)

Доказано, потому что 3 выше описанных случая являются всеми возможными, а мы доказали что каждый из них может быть решён.

P.S. На самом деле очень просто доказывается что это работает для двух любых взаимнопростых чисел. Вопрос только в нижней границе. например из чисел 9 и 8 можно сложить любое число больше 56

подсказка: любое большое число можно разбить примерно пополам. например, 100=50+50, 77 = 38+39

ну а маленькие числа недолго и перебрать

Пусть у нас имеются неограниченное число 5-и - и четыре шт. 3-хрублёвых монет. Покажем, что можно составить все суммы от 8 до 17 руб: 8= 5+3, 9= 3*3, 10= 2*5, 11= 5+2*3, 12= 4*3, 13= 2*5+3, 14= 5+3*3, 15= 3*5, 16=2*5+2*3, 17= 5+4*3. Дальше числа каждый раз на 10 руб (2*5) превышает предыдущие (18, 19,...27; 28, 29,...37 и т. д) и потому можно составить любое целое число, не меньшее 8.

любое число А можно представить в виде: или A=3t или A=3t+1 или A=3t+2. по условию t=или>3. рассмотрим эти случаи отдельно.
1. 3t=3n+5k, где n - число монет 3р и k - число монет 5р. из (1) k=3(t-n)/5 и т. к. k должно быть целым (t-n) должно быть кратно 5, т. е. (t-n)=5m, где m=0,1,2,...отсюда n=t-5m, k=3(t-t+5m)/5=3m.
2. 3t+1=3n+5k, отсюда n=(3t+1-5k)/3=t-k-(2k-1)/3. чтобы n было целым надо чтобы (2k-1)=3q, отсюда k=(3q+1)/2=q+(q+1)/2, чтобы k было целым надо чтобы q=2m+1, где m=0,1,2,...собирая все в кучу имеем k=3m+2, n=t-5m-3.
3. аналогично показываем что при А=3t+2, k=3m+1, n=t-5m-1. итак чтобы представить число А в виде заданной суммы, надо найти к какому типу чисел оно относится, определить t и воспользоваться выведенными формулами. очевидно что число решений ограничено т. к. n не может быть отрицательным.
P.S. если число делится на 3, то его вид A=3t и t=A/3, если при делении числа на 3 получается дробное число с периодом (3), то число имеет вид =A=3t+1 и t=(A-1)/3. если при делении числа на 3 получается дробное число с периодом (6), то число имеет вид A=3t+2 и t=(A-2)/3.

не могу монет по три рубля не бывает

Я могу выложить любое число из любых монет. Мозаикой.

можно