доказать что существует бесконечно много простых чисел вида 4k + 3

Знаете доказательство того, что простых чисел бесконечно много? --Его легко можно адаптировать для этого случая. Итак, от противного. Допустим, что существует только конечное число R простых чисел вида 4n + 3. Обозначим их

p0, p1, p2, … , pR.

Очевидно, p0 = 3, p1 = 7, p2 = 11, p3 = 19 и так далее.

Рассмотрим число

Q = 4 * p1 * p2 * p3 * ⋯ * pR + 3.

Обратите внимание, что мы включили в Q весь список, КРОМЕ p0 = 3. Это будет важно в дальнейшем.

Что можно сказать про это число? --Оно имеет структуру 4k + 3, но простым оно быть не может, потому что мы предположили, что список p0, p1, p2, … , pR исчерпывает ВСЕ простые числа вида 4k + 3. Значит, число Q должно раскладываться на произведение простых чисел. Но каких? --Ни одно из чисел нашего списка p1, p2, … , pR не может быть делителем Q, потому что при делении Q на любое из них мы получим в остатке 3. Простое число 2 тоже не может являться делителем Q, потому что Q совершенно очевидно нечетное. На p0 = 3 число Q тоже не делится, потому что второе его слагаемое -- тройка, а в первое слагаемое мы намеренно не включили p0 = 3. Что же остается, на что Q может делиться? --Остаются какие-то нечетные простые числа, все имеющие структуру 4k + 1. Но любое произведение чисел структуры 4k + 1 самО имеет ту же структуру 4k + 1:

(4k + 1)(4n + 1) = 16kn + 4k + 4n + 1 = 4(4kn + k + n) + 1.

А Q имеет структуру 4k + 3, а не 4k + 1. Поэтому мы получаем противоречие: при сделанном предположении число Q не может быть ни простым, ни составным. Следовательно, предположение было неправильным, и на самом деле существует бесконечно много простых чисел вида 4k + 3.

пусть их конечное количество.
запишем их:
m1, m2,...mn.

построим новое число вида
4*m1* m*.. *mn-3

и изучите, есть ли у него делители