Можно ли вывести формулу, построив график которой мы получим изображение предмета?

Можно!

Одной формулой практически невозможно, обыно изображение не описывается ГЛАДКОЙ функцией (если описывается - то можно) , а вот набором формул - сколько угодно, например набором парабол - называется метод "сплайн-функций" и очень широко используется например для программирования станков с ЧПУ. Ведь перемещение резца и приходится описывать формулами...

Есть такой метод, называется Полином Безье. Любая кривая или поверхность может быть описана системой таких полиномиальных уравнений и воспроизведена как трёхмерная форма. На этом принципе некоторые системы компьютерного моделирования работают.
Есть и обратная задача - полиномизация существующих форм для перевода их в цифровой формат. На координатно-измерительной машине выполняются дискретные замеры, в специальных программах по ним восстанавливаются кривые и поверхности, и по ним можно получить систему полиномов, описывающих эту форму.

Можно! Этому учать в курсе высшей математики!

можно

Нет, нет и еще раз нет. Даже если вы от руки нарисуете кривую линию, то сложность формулы для ее описания будет черезмерно сложной. А простой угол в 90 градусов раскладывается только в бесконечный ряд Тейлора. Вообще резкие изменения (углы, разрывы) очень сложно описать. Выход - аппроксимация. Сдесь уж любой предмет можно представить в виде простейших геометрических фигур уравнения которых известны (линия, кривая, эллипс и т. д.)

Можно. Для этого используется упомянутый выше полином Безье. А вот примеры посмотреть можно открыв программу CorelDraw и нарисовав там что либо. Вот там все эти рисунки и картинки описываються с помощью формул. Если хочеш посложнее открывай 3D Max и будут там уже 3-х мерные предмты полностью описывающиеся формулами.

Да

Можно, с конечной степенью точности/детализации.

да. мы такое делали. очень муторно

Конечно можно...

да. можно.

Знайте Перельмана? Так вот он доказал, что из любого трехмерного объекта можно получить любой другой трехмерный объект (только для замкнутых) (см. в Википедии) . Надо только найти формулу. В учебке по курсу "компьютерной графики" мы рисовали поверхность "шляпа", но вот формулу не помню.