Помогите вывести формулу из механики

Проще всего, наверное, будет рассматривать трубку с газом, с постоянным сечением. Вводим ось x вдоль трубки, и рассматриваем газ в области трубки от x до (x + dx), считая dx - дифференциально малым.
1)
Масса газа внутри этой области:
dm = p S dx
p - плотность
S - площадь сечения
Если газ движется, сжимается, то масса газа внутри промежутка меняется. Изменение массы за время dt:
d(dm) = dp S dx
d(dm)/dt = S (dp/dt) dx
Если ввести проекцию скорости газа на ось x в точке x, то:
d(dm) = p(x) v(x) S dt - p(x+dx) v(x+dx) S dt
d(dm)/dt = S [p(x) v(x) - p(x+dx) v(x+dx)]
Приравниваем выражения для d(dm)/dt:
S (dp/dt) dx = S [p(x) v(x) - p(x+dx) v(x+dx)]
Делим на S dx (справа будет определение производной, если dx устремить к 0):
dp/dt = - d(p v)/dx
2)
Рассмотрим, какая сила действует на газ внутри этого промежутка трубы со стороны соседнего газа:
Fx = P(x) S - P(x+dx) S
P - давление
По второму закону Ньютона:
dm dv/dt = Fx
p S dx (dv/dt) = S (P(x) - P(x+dx))
Снова делим на dx:
dv/dt = (1/p) dP/dx
Тут надо заметить, что под dv/dt имеется ввиду ПОЛНАЯ производная по времени. Тогда придется расписать:
dv/dt_полн = dv/dt_частн + dv/dx_частн dx/dt_полн = dv/dt + v dv/dx
(учли, что dx/dt = v)
Тогда уравнение примет вид (все производные частные):
dv/dt + v dv/dx = - (1/p) dP/dx
3)
Уравнение состояния. С одной стороны у нас есть первое начало термодинамики:
dQ = dU + P dV
С другой - уравнение состояния:
P V = f R T
Считаем, что процесс адиабатический, то есть при малых колебаниях плотности газа нет обмена теплотой:
dQ = 0
Тогда, сразу подставляя U = (i/2) f R T, получаем:
0 = (i/2) f R dT + P dV
P V = f R T
dT выражаем из второго равенства, подставляем в первое:
0 = (i/2) d(P V) + P dV
0 = [(i+2)/i] P dV + (i/2) V dP
dP/P = - [(i+2)/i] dV/V
(обозначим g = (i+2)/i - показатель адиабаты)
dP/P = - g dV/V
Интегрируем:
ln(P) = Const - g ln(V)
Или:
P V^g = Const - уравнение адиабатического процесса. Если переписать его через плотность:
P p^-g = Const
4)
Получили систему 3-х уравнений для p, P, v:
dp/dt = - d(p v)/dx
dv/dt + v dv/dx = - (1/p) dP/dx
P p^-g = Const
Обозначим за Po, po - давление и плотность газа, когда в нем нет никакого звука (равновесные значения), тогда третье уравнение примет вид:
P p^-g = Po (po)^-g
или:
P = Po (p/po)^g
Запишем плотность в виде:
p = po (1 + s)
и будем считать, что плотность изменяется слабло, т. е.:
|s| << 1
Будем пренебрегать всеми степенями s выше первой.
Тогда:
P = Po (1+s)^g ≈ Po (1 + g s)
Так же малыми будем считать и скорости, поэтому пренебрежем во втором уравнении системы слагаемым v dv/dx (второй порядок по v). Подставляя туда выражение для P, получим:
dv/dt + v dv/dx = - (1/p) dP/dx
dv/dt ≈ - (g Po / po) ds/dx (уже пренебрегли всеми степенями s и v выше первой)
Подставим плотность в виде p = po (1 + s) в первое равнение:
dp/dt + d(p v)/dx = 0
po (ds/dt) + po [v (ds/dx) + s (dv/dx) + dv/dx] = 0
Делим на po, и пренебрегаем произведениями v s (опять второй порядок по малым величинам):
ds/dt + dv/dx ≈ 0
5)
Получили систему уравнений акустики для скорости газа v и относительного изменения плотности s:
ds/dt + dv/dx = 0
dv/dt + (g Po / po) ds/dx = 0
Исключим из рассмотрения скорость, перейдем к уравнению только для s. От первого уравнения берем производную по времени, от второго - по координате:
(d/dt)^2 s + (d/dt)(d/dx) v = 0
(d/dx)(d/dt) v + [g Po / po] (d/dx)^2 s = 0
Вычитаем уравнения:
(d/dt)^2 s = [g Po / po] (d/dx)^2 s
Получили волновое уравнения для малых относительных изменений плотности газа. Множитель справа - квадрат скорости распространения волн, то есть скорости звука. Получаем:
v_зв = sqrt(g Po / po),
g - показатель адиабаты
Po - давление
po - плотность