Естественные науки

Вывести формулы, выражающие Cos(5a) через Cos(a) и Sin(5a) через Sin(a).

В задачнике Сканави она в разделе комплексных чисел под номером 10.29. Необходимо использовать формулу Муавра и бинома "Ньютона", что и пытался, но никак не получается избавиться от многочисленных функций Sin.
ИТ
Ирина Толстых
102
по формуле Муавра [cos(5x)+isin(5x)]=(cosx+isinx)^5. разложим правую часть по биному Ньютона. [cos(5x)+isin(5x)]=1*cos^5(x)+5*cos^4(x)*(isin(x))+10*cos^3(x)*(isin(x))^2+10*cos^2(x)*(isin(x))^3+5*cos(x)*(isin(x))^4+1*(isin(x))^5=cos^5(x)+5i*cos^4(x)sin(x)-10*cos^3(x)sin^2(x)-10i*cos^2(x)sin^3(x)+5*cos(x)sin^4(x)+isin^5(x). сгрупируем действительные и мнимые члены в правой части [cos(5x)+isin(5x)]=[cos^5(x)-10cos^3(x)sin^2(x)+5cos(x)sin^4(x)]+i[sin^5(x)-10sin^3(x)cos^2(x)+5sin(x)cos^4(x)]. сравнивая действительные и мнимые части слева и справа получаем cos(5x)=cos^5(x)-10cos^3(x)+5cos(x)sin^4(x) и sin(5x)=sin^5(x)-10sin^3(x)cos^2(x)+5sin(x)cos^4(x).
P.S. напоминаю i^2=-1, i^3=-i, i^4=1, i^5=i
Екатерина Силаенкова
Екатерина Силаенкова
33 067
Лучший ответ
Екатерина Силаенкова описка. cos(5x)=cos^5(x)-10cos^3(x)sin^2(x)+5cos(x)sin^4(x)
Екатерина Силаенкова если заменить cos^2(x)=1-sin^2(x) и cos^4(x)=(1-sin^2(x))^2, то sin(5x)=16sin^5(x)-20sin^3(x)+5sin(x). то же самое можно проделать с cos(5x)
Павел Ухин Странная асимметрия: -) Опечатка у вас для cos(5x) - пропустили квадрат синуса во втором слагаемом

http://www.wolframalpha.com/input/?i=chebyshevT[5,+sin(x)]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=chebyshevT[5,+cos(x)]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos(5x)+-+chebyshevT[5,+cos(x)]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin(5x)-chebyshevT[5,+sin(x)]

Для косинуса сей фокус пройдет для любого кратного угла, для синуса - только для углов вида (4n + 1)x
Павел Ухин Прошу прощения, не обновил комменты, написал свой
Помню, формулу для sin(5x) я вывел при нахождении геометрическим способом значения sin18o= (√5-1)/4= 0,3090:
sin(5x)= 16sin^5(x)-20sin^3(x)+5sin(x).
В верности этой формулы можно убедиться, подставляя х= 18о:
sin(5*18o)= sin90o= 1= 16*0,309^5-20*0,309^3+0,309*5.
ЕС
Екатерина Саукова
86 774
Динара Барадосова Если у вас есть вопросы по моему решению задачи про трапецию, я отвечу. Просто вам всё должно быть уже понятно ИМХО.
Прикол в том, что и для косинуса пятерного угла, и для синуса пятерного угла должен получиться одинаковый многочлен от косинуса/синуса одинарного (это многочлен Чебышева первого рода T5, но это не важно)

sin(5x) = 16sin^5(x)-20sin^3(x)+5sin(x)
cos(5x) = 16cos^5(x)-20cos^3(x)+5cos(x)

Вот такой он, пятерной угол. Дерзайте, может, решение покрасивее придумаете, зная ответ: -)
Кстати, у Марата очевидная опечатка - в формулах для cos(5x) и sin(5x) асимметрия в глаз торчит.

PS. Фокус. Тырим многочлен Чебышева T9 отсюда:
https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials
Вбиваем в http://www.wolframalpha.com :
sin(9x) - (256*sin^9(x) - 576sin^7(x) + 432 sin^5(x)-120*sin^3(x) + 9sin(x))
Получаем ноль.
Для косинусов сей фокус пройдет для любого кратного угла, а для синусов - только для кратных углов вида (4n + 1)*x
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin(13x)+-+chebyshevT[13,+sin(x)]
Павел Ухин
Павел Ухин
76 843
Ирина Толстых На самом деле, полное разочарование. Простое сопоставление частей уравнения для меня не являлось способом решения. Ожидал использования тригонометрических преобразований. Может быть, когда-нибудь и найду способ краше.)
Если не ошибаюсь, в задаче используется следующий приём:
Всё, что получается с множителем i перекидываем в одну сторону, без него - в другую. То, что с i приравниваем к нулю, это и будет искомой формулой
Юлия Коробова
Юлия Коробова
69 147

Похожие вопросы