Каким образом вывели формулу принципа неопределенности гейзнберга?

Его можно вывести в рамках статистической физики.
В квантовой механики (да и в классической) физические величины, типа координаты, импульса, энергии..., можно представить в операторном виде, причём такие операторы являются самосопряжёнными (как в силу линейности фундаментальных уравнений, так и в силу того, что соответствующие им величины имеют вещественное значение) . А для самосопряжённых операторов из неравенства Коши-Буняковского (из теории вероятностей) как раз и следует соотношение неопределённостей.

Вывести можно по-разному. Это можно сделать на основе аксиоматической квантовой механики, используя свойства некоммутативности операторов координаты и импульса частиц (см. ответы выше) . А можно и по-другому, математически не очень строго, но физически более прозрачно. Любая движущаяся "частица" подчиняется уравнению де Бройля: lambda = h / <p>, lambda - длина волны "частицы", h - постоянная Планка, <p> - среднее значение импульса частицы. Перепишем это простое соотношение в виде: lambda * <p> = h. Но lambda - это и есть мера НЕОПРЕДЕЛЁНHОСТИ положения частицы ==> delta x! Тогда имеем: delta x * <p> = h. В свою очередь, любое мгновенное значение импульса частицы (p) можно представить в виде: p = <p> + delta p, где delta p - неопределённость импульса. Поскольку величина delta p может ПРЕВЫШАТЬ значения <p>, то для произведения двух ошибок очевидна справедливость оценки "снизу": delta x * delta p >= h, а это и есть принцип неопределённости.

Согласен с Леонидом, за одним исключением: при чем тут теория вероятностей???? Неравенство Коши-Буняковского действительно применяется в выводе (на основе теории линейных самомсопряженных операторов) - это действительно так, но теория вероятности тут ни к селу, ни к городу...

вот здесь можете найти информацию
http://elementy.ru/trefil/21096