При взаимодействии фотона с другими фотонами как они могут взаимодействовать?

Фотоны непосредственно друг с другом не взаимодействуют. Но фотон словно окружён облаком виртуальных частиц, а высокоэнергетический фотон - облаком "почти реальных", и облака пролетающих около друг друга фотонов могут пересечься и какой-нибудь "почти реальный" электрон провзаимодействует, например, со вторым фотоном. Или с "почти реальным" позитроном второго фотона, произойдёт аннигиляция и родятся два новых фотона. Но позитрон ("напарник" виртуального электрона) первого облака останется жить как реальная частица, также и электрон второго. Вот и получили: высокоэнерг. фотон + высокоэнерг. фотон -> низкоэнерг. фотон + низкоэнерг. фотон + электрон + позитрон.
Это лишь одна из возможностей.

ударят по рукам и разлетятся в разные стороны...

1) Фотоны друг с другом не взаимодействуют.
2) Фотон при взаимодействии с другими заряженными частицами (электрон, протон) может породить пару частица-античастица. Чаще всего электрон-позитрон.
3) Взаимодействие фотона с другими частицами совершенно не похоже на "два шарика". Однако законы сохранения импульса и энергии конечно же всегда выполняются.
4) У позитрония нет ядра. Позитроний - это система электрон + позитрон, которые обращаются вокруг друг друга. Позитроний очень быстро, за несколько миллиардных долей секунды, аннигилирует, то есть "распадается", с образованием двух или трёх новых фотонов.

"Изучение фотон-адронных и фотон-фотонных столкновений.
...рассматривается особый класс реакций — непосредственное взаимодействие двух фотонов. То есть, фотоны могут столкнуться как со встречным протоном, порождая типичные фотон-адронные столкновения, так и друг с другом. "
(Википедия, статья "Большой адронный коллайдер")
Именно позитроний - потому что у него наименьшая энергия среди связанных систем, которые могут возникнуть без нарушения законов сохранения.