Задача по физике! Сколько времени Земля падала бы на Солнце,если бы вдруг остановилась?

Это роковое падение началось бы медленно, с черепашьей скоростью: в первую секунду Земля приблизилась бы к Солнцу только на 3 мм. Но с каждой секундой скорость её движения прогрессивно возрастала бы, достигнув в последнюю секунду 600 км. С этой невообразимой скоростью земной шар обрушился бы на раскалённую поверхность Солнца.
Интересно вычислить, сколько времени длился бы этот гибельный перелёт, долго ли продолжалась бы агония нашего обречённого мира. Сделать этот расчёт поможет нам третий закон Кеплера, который распространяется на движение не только планет, но и комет и всех вообще небесных тел, движущихся в мировом пространстве под действием центральной силы тяготения. Закон этот связывает время обращения планеты (её «год» ) с её расстоянием от Солнца и гласит:
квадраты времен обращения планет относятся между собой, как кубы больших полуосей их орбит.
Составим пропорцию на основании третьего закона Кеплера: ...
Период обращения Земли равен 365 суткам; примем за единицу большую полуось её орбиты, и тогда большая полуось орбиты кометы выразится дробью 0,5.
Значит, чтобы узнать, во сколько времени Земля упала бы на Солнце, нужно продолжительность года разделить на sqrt(32), т. е. на 5,6. Это составит круглым счётом 65 дней.
Итак, мы вычислили, что Земля, внезапно остановленная в своём движении по орбите, падала бы на Солнце в течение 65 дней.
Вычисления опущены, их можно посмотреть в книге Перельмана "Занимательная астрономия".

Задача не самая простая.

Сила притяжения переменная: F(x)=kMm/x^2,
где х - расстояние до Солнца, k - гравитационнная постоянная,
M и m - массы Солнца и Земли. Видно, что движение НЕ равноускоренное.
Потенциал поля тяготения на расстоянии х от Солнца равен
U(x)=-kMm/x, a на исходном расстоянии P (=149 млн км)
потенциал U(P)=-kMm/P.
Изменение потенциала, равное U(P)-U(x)=kMm(1/x-1/P),
превращается в кинетическую энергию:

kmM(1/x-1/P)=m(v(x))^2/2, где v(x) - скорость Земли на
расстоянии х от Солнца.

Отсюда v(x)= -koren(2kM(1/x-1/P)) . Знак минус поставили
потому, что движение в сторону уменьшения координаты х
Но скорость равна производной пути по времени, v(x)=dx/dt,

dt=dx/v(x), dt= - dx/(koren(2kM(1/x-1/P))).

Oтсюда время падения T выражается интегралом

T=int [0; P] dx/(koren(2kM(1/x-1/P))).

Интеграл вычисляется, ответ:

T=pi*P^(3/2) / koren(8kM).

Масса Солнца известна (1,99*10 в 30 кг) , расстояние до него в начальный момент тоже известно (примерно 149 млн км) , так что не штука, взяв формуу закона всемирного тяготения, выразить ускорение свободного падения на произвольном расстоянии от Солнца. Ускорение - это вторая производная от координаты по времени, и скорость будет первым интегралом от ускорения. То есть не штука выразить dR/dt как функцию от R, откуда легко получается явное выражение для dt. В результате время оказывается пропорциональным квадрату начального расстояния, а ответ можно получить, просто сосчитав определённый интеграл в пределах от начального расстояния (1 а. е. ) до конечно, равного радиусу Солнца (0,7 мл. км) .

Есть и второй способ решения - через третий закон Кеплера: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Для земли, с её почти круговой орбитой, большую полуось можно считать равной тем самым 149 млн км (1 а. е.) . Падение на Солнце без начальной скорости можно трактовать как движение по сильно вытянутой эллиптической орбите (с эксцентриситетом 1), тогда большая полуось будет ровно 0,5 а. е. , а значит, время падения (половина периода "обращения" для такого вот эллипса) легко вычисляется через 1 год.

Падение с нулевой начальной скоростью - это частный случай кеплеровской орбиты (движение идёт по отрезку прямой, т. е. эллипсу с эксцентриситетом е=1). Большая полуось этого эллипса равна половине первоначального расстояния.

Время падения будет равно половине периода обращения. Большая полуось вдвое меньше, чем у Земли при обычном вращении вокруг Солнца, значит период обращения меньше в 2√2 раза.

В итоге получаем 1/4√2 года = 64.566 суток

Будем считать?
Будем!
Расстояние от Земли до Солнца R = 150 миллионов км = 1,5 * 10^11 м
Период обращения Земли вокруг Солнца T = 1 год = 3,15 * 10^7 сек
Угловая скорость Земли на орбите равна w =2PI / T = 2 * 10^-7 1/сек
Центростремительное ускорение Земли a = w^2*R = 6 * 10^-3 м/сек^2
Расстояние R Земля пролетит (без начальной скорости) за время t = V(2R/a) = 0,7 * 10^7 сек.
Переводя в более привычные меры времени, это около 2,5 месяцев.