Вопрос из аксиоматики скорее, о противоречиях.

Вы идете благородным путем Рассела. Только зачем так сложно? Задайтесь более простым вариантом Вашего вопроса: включает ли множество всех собственных (т. е. не содержащих себя в качестве элемента) множеств - обозначим его А - само А? Пытаясь ответить на него, Вы придёте к ровно тем же парадоксам

удивительный набор бреда.
сначала введите строго, что такте аксиома и что такое "ее система".

Пока непонятно, можно ли аксиому "a+(b+с) =(a+b)+c" для натуральных чисел, для рациональных чисел, для векторов, для групп, для кватернионов, для матриц считать одной и той же аксиомой. Системы-то в итоге разные.

П. 2 зависит от того, как вы введете пространство аксиом. Сначала введите строго - потом и посмотрим.

каким образом связаны математические объекты и мир?? ? Вообще-то никаким. Тем более, как связана бесконечность мира (о чем это вы, кстати? ) и бесконечность множества аксиоматических систем?

Кстати, Вселенная - конечна и в пространстве и во времени.

Грубая ошибка в том, что при аксиоматическом подходе выбирается строго определённый набор аксиом,
а Вы хотите туда приткнуть ещё какую-то надуманную аксиому, которая не описывает никаких свойств объектов
данной системы. Для выбранной системы аксиом производится проверка на их совместность и достаточность.
Короче, математика строгая наука и не тепит всяких философских словоблудий.

Пункт 1 - не аксиома, а тавтология, т. к. не несёт никакой информации.
А аксиом, действительно, можно придумать сколько угодно. Правда, не все будут иметь смысл и, тем более, не все окажутся полезными, но придумать - на здоровье :)))