Во сколько должен быть апогей солнца на небе по местному- в 12 или в 14 часов ?

ни в то ни в то время.
в нашей стране это в 12-30 или 13-30 в зависимости от того, летнее время или зимнее. впрочем, если это очередной тупой тест для школьников, писать, наверное, стоит 14

Для определения этого обычно используют поправку к поясному времени, которая для каждого населенного пункта своя.
Например, для Москвы она составляет -30 мин зимой и -1 час 30 мин - летом (в период действия летнего времени) .
Для получения астрономического времени эту поправку нужно прибавить (с учетом знака) к обычному времени.
(Чтобы узнать, какое время соответствует солнечному, нужно наоборот - вычесть) .
Обратите внимание, что для Москвы она имеет знак минус.

Отсюда ясно, что "астрономический полдень" в Москве наступает зимой в 12:30 (летом в 13:30), и соответственно, полночь зимой в 0:30 (летом в 1:30).

Чтобы определить эту поправку для других населенных пунктов, достаточно знать географическую долготу места и часовой пояс (или разницу с Московским временем) . Формула такая:
Ts = Lg - (N + 3 + S)

где Lg - долгота места (в часах, мин)
N - разница (в часах, мин) с Московским временем (Тмест - Тмоск) .
S - поправка на летнее время: в период действия летнего времени S = 1, зимой S = 0.

Долготу можно взять из таблиц или приблизительно определить по карте. Не забудьте перевести долготу в часы-минуты, из расчета 1° = 4 мин, 1' = 4 сек.

Например, для Симферополя долгота 34°06', переводим в часы-мин: 34*4 + 06*4 = 136 мин + 24 сек = 2ч16м24с.
Если в Симферополе сейчас время совпадает с Киевом, тогда поправка:
2:16 - 2:00 = +16 мин зимой
и 2:16 - 3:00 = -44 мин летом.

"Апогей Солнца" - ну-ну
А максимальная высота над горизонтом (астрономический ПОЛДЕНЬ) - в 13 часов зимой, если точно в середине часового пояса:
1 час сдвига - декретное время
Летом добавляется (пока не отменили) ещё час летнего времени, поэтому летом - в 14 часов....

изначально в 12
потом перешли на декретное время в 13
по-летнему в 14
осенью в 14 напостоянно станет
и ещё, в России часовые пояса СДВОЕННЫЕ

ЗЫ: зимой светлое время с 10 до 18
кто такую хрень придумал?